Tìm giao điểm N của đường thẳng SD

Giải Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Video Giải Bài tập 5 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 5 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD.

Vì $\begin{array}{l}E\in AB\subset \left(MAB\right)\\ E\in DC\subset \left(SDC\right)\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}E\in \left(MAB\right)\\ E\in \left(SDC\right)\end{array}$

Lại có $\begin{array}{l}M\in \left(MAB\right)\\ M\in SD\Rightarrow M\in \left(SDC\right)\end{array}$

Suy ra $\left(MAB\right)\cap \left(SDC\right)=ME$

Trong mặt phẳng (SDC) ta có: $N=EM\cap SD$

Vì $\begin{array}{l}N\in EM\\ EM\subset \left(MAB\right)\end{array}$ suy ra  $N\in \left(MAB\right)$

Lại có $N\in SD$

Suy ra N là giao điểm của SD và mặt phẳng (MAB)

b) O là giao điểm của AC và BD

Suy ra $\begin{array}{l}O\in AC\\ O\in BD\end{array}$

Mà $\begin{array}{l}AC\subset \left(SAC\right)\\ BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}O\in \left(SAC\right)\\ O\in \left(SBD\right)\end{array}$

Suy ra O là một điểm chung của (SAC) và (SBD)

Mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Suy ra $\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$

Gọi I là giao điểm của AM và BN

Mà  $\begin{array}{l}AM\subset \left(SAC\right)\\ BN\subset \left(SBD\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}I\in \left(SAC\right)\\ I\in \left(SBD\right)\end{array}$

Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Nên $I\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$

Vậy ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy tại I.