Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng

Giải Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Video Giải Bài tập 4 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 4 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi G_A, G_B, G_C, G_D lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng quy.

*Lời giải

Gọi N là trung điểm CD

G_A là trọng tâm tam giác BCD

$G_A\in BN\subset \left(ANB\right)$

Suy ra $A{G}_A\subset \left(ANB\right)$

G_B là trọng tâm tam giác ACD

$G_B\in AN\subset \left(ANB\right)$

Suy ra $B{G}_B\subset \left(ANB\right)$

Trong (ANB): AG_A không song song với BG_B

Suy ra $A{G}_A\cap B{G}_B=O$

Chứng minh tương tự: $B{G}_B\cap C{G}_C$; $C{G}_C\cap A{G}_A$.

$C{G}_C\notin \left(ANB\right)$ suy ra AG_A; BG_B; CG_C không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 suy ra AG_A; BG_B; CG_C đồng quy tại O

Chứng minh tương tự: AG_A; BG_B; DG_D đồng quy tại O

Vậy AG_A; BG_B ; CG_C; DG_D đồng quy tại O (điều phải chứng minh)

*Phương pháp giải

- để chứng minh 3 đường đồng quy tại 1 điểm ta chứng mình cho 3 đường đó không đồng phẳng và đôi một cắt nhau

*Lý thuyết

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu có một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu d⊂(P)d⊂(P)$d\subset (P)$ hoặc .

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu .

- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hìnd=(P)∩(Q)d=(P)∩(Q)$d=(P)\cap (Q)$h học phẳng đều đúng.

Cách xác định mặt phẳng

1) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

2) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(A, d) hay (A, d) hoặc mp(d, A) hay (d, A).

3) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b) hoặc mp(b, a) hay (b, a).