Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy

Giải Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Video Giải Bài tập 3 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học:

Lời giải:

Gọi d₁, d₂, d₃ là ba đường thẳng đã cho.

Gọi $I=d_1\cap d_2$ suy ra $\begin{array}{l}I\in d_1\\ I\in d_2\end{array}$

Ta chứng minh $I\in d_3$. Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₁, d₃.

(γ) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₂, d₃.

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và (γ) phân biệt.

Ngoài ra $\begin{array}{l}{d}_3\subset \left(\beta \right)\\ d_3\subset \left(\gamma \right)\end{array}$ suy ra $\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=d_3$

$I\in d_1\subset \left(\beta \right)$ suy ra $I\in \left(\beta \right)=\left(d_1,d_3\right)$

$I\in d_2\subset \left(\gamma \right)$ suy ra $I\in \left(\gamma \right)=\left(d_2,d_3\right)$

Từ đó suy ra, $I\in \left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=d_3$

Vậy d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₁, d₂

Goi $d_3\cap d_1=M;d_3\cap d_2=N$.

$M\in d_1$, mà $d_1\subset \left(P\right)$ suy ra $M\in \left(P\right)$

$N\in {\text{d}}_2$, mà ${\text{d}}_2\subset \left(\text{P}\right)$ suy ra $\text{N}\in \left(\text{P}\right)$

Nếu $\text{M}\ne \text{N}$ suy ra d₃ có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

Suy ra $d_3\subset \left(P\right)$

Suy ra d₁, d₂, d₃ đồng phẳng (trái với giả thiết d₁, d₂, d₃ không đồng phẳng)

Suy ra $M\equiv N$ là điểm thuộc cả d₁, d₂, d₃

Vậy d₁, d₂, d₃ đồng quy.

*Phương pháp giải

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (3 đường thẳng giao nhau tại một điểm) chúng ta thường dùng một trong những cách sau:

Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.

Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.

Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.

* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.

* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.

Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.

Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.

Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm

Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

*Lý thuyết

1. Ba đường thẳng đồng quy là gì?

Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.

2. Tính chất của 3 đường thẳng đồng quy

– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.

– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác.

– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác.

– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó.

– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác.

– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.

3. Điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy

- Định lý trọng tâm: Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Đồng thời khoảng cách từ điểm này đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ điểm này đến trung điểm của cạnh đối diện. Giao điểm nói trên được gọi là trọng tâm của hình tam giác.

- Định lý tâm ngoại tiếp: các đường trung trực của ba cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm ngoại tiếp của tam giác.

- Định lý trực tâm: Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

- Định lý tâm nội tiếp: Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm nội tuyến của tam giác.

- Định lý tâm bàng tiếp: Tia phân giác của góc trong của tam giác và tia phân giác của góc ngoài ở hai đỉnh còn lại cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm bàng tiếp của tam giác. Hình tam giác có 3 tâm bàng tiếp.

- Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp đều là tâm của tam giác. Chúng đều có những mối liên hệ quan trọng đến hình tam giác.