Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (‒pi; pi)

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 5 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (‒π; π).

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=1;$

b) $2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{3};$

c) $\tan \left(x+\frac{\pi }{9}\right)=\tan \frac{4\pi }{9}.$

Lời giải:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=1$

$\iff 3x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

$-\pi <\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}<\pi$ $\iff -1<\frac{5}{18}+k\frac{2}{3}<1$ $\iff -\frac{23}{12}<k<\frac{13}{12}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0; 1}.

Với k = ‒1, ta có: $x=\frac{5\pi }{18}-1\cdot \frac{2\pi }{3}=-\frac{7\pi }{18}$

Với k = 0, ta có: $x=\frac{5\pi }{18}+0\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}$

Với k = 1, ta có: $x=\frac{5\pi }{18}+1\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{17\pi }{18}$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left.-\frac{7\pi }{18};\frac{5\pi }{18};\frac{17\pi }{18}\right\}.$

b) $2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$

$\iff 2x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 2x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{11\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

⦁ $-\pi <\frac{11\pi }{24}+k\pi <\pi$ $\iff -1<\frac{11}{24}+k<1$ $\iff -\frac{35}{24}<k<\frac{13}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

⦁ $-\pi <\frac{7\pi }{24}+k\pi <\pi$ $\iff -1<\frac{7}{24}+k<1$ $\iff -\frac{31}{24}<k<\frac{17}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

Với k = ‒1, ta có $x=\frac{11\pi }{24}+\left(-1\right)\cdot \pi =-\frac{13\pi }{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\left(-1\right)\cdot \pi =\frac{-17\pi }{24}$

Với k = 0, ta có $x=\frac{11\pi }{24}+0\cdot \pi =\frac{11\pi }{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+0\cdot \pi =\frac{7\pi }{24}$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left.-\frac{17\pi }{24};-\frac{13\pi }{24};\frac{7\pi }{24};\frac{11\pi }{24}\right\}.$

c) $\tan \left(x+\frac{\pi }{9}\right)=\tan \frac{4\pi }{9}$

$\iff x+\frac{\pi }{9}=\frac{4\pi }{9}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

$-\pi <\frac{\pi }{3}+k\pi <\pi$ $\iff -1<\frac{1}{3}+k<1$ $\iff -\frac{4}{3}<k<\frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

Với k = −1, ta có: $x=\frac{\pi }{3}+\left(-1\right)\cdot \pi =-\frac{2\pi }{3};$

Với k = 0, ta có: $x=\frac{\pi }{3}+0\cdot \pi =\frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left.-\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right\}.$