Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos (x+pi/4) + cos (pi/4-x) = 0

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 3 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0;$

b) 2cos²x + 5sinx ‒ 4 = 0;

c) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)+2{\sin }^{2}x-1=0.$

Lời giải:

a) $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$

$\iff \text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\iff \text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\text{cos}\left(\frac{3\pi }{4}+x\right)$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}-x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) 2cos²x + 5sinx ‒ 4 = 0

⇔ 2(1 ‒ sin²x) + 5sinx ‒ 4 = 0

⇔ ‒2sin²x + 5sinx ‒ 2 = 0

⇔ sinx = 2 (vô nghiệm) hoặc sinx = $\frac{1}{2}$

⇔ sinx = $\frac{1}{2}$ $\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

c) $\text{cos}\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)+2{\text{sin}}^{2}x-1=0$

$\iff \text{cos}\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=1-2{\text{sin}}^{2}x\iff \text{cos}\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\text{cos}2x$

$\iff 3x-\frac{\pi }{4}=2x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $3x-\frac{\pi }{4}=-2x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{\pi }{20}+k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{\pi }{20}+k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$