Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 10 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left(t\right)=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right).$

a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?

Lời giải:

a) Với mọi t > 0, ta có $-1\le \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$

$\iff -20\le 20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 20$

$\iff 10\le 30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 50$

Hay 10 ≤ h(t) ≤ 50

Vậy cabin đạt độ cao tối đa là 50 (m).

b) Thời gian để cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên là nghiệm của phương trình:

$30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)=40$ với t > 0 và t đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải phương trình:

30 + $20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$ = 40

$\iff \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff t=-\frac{25}{6}+k50,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t=\frac{25}{2}+k50,k\in \mathbb{Z}$

⦁ Xét $t=-\frac{25}{6}+k50,k\in \mathbb{Z}$ và t > 0, ta có:

$-\frac{25}{6}+k50>0\iff k>\frac{1}{12}$, k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2; …}

Mà t đạt giá trị nhỏ nhất nên $t=-\frac{25}{6}+1\cdot 50=\frac{275}{6}\approx 45,8\left(s\right)$ với k = 1.

⦁ Xét $t=\frac{25}{2}+k50,k\in \mathbb{Z}$ và t > 0, ta có:

$t=\frac{25}{2}+k50>0\iff k>-\frac{1}{4}$, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Mà t đạt giá trị nhỏ nhất nên $t=\frac{25}{2}+0\cdot 50=\frac{25}{2}=12,5\left(s\right)$ với k = 0.

Do 12,5 < 45,8 nên sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên.