Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz) và (Ozx)

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài 3 trang 80 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz) và (Ozx).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; –3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (Oxy) là tập hợp các điểm có cao độ z = 0 nên có phương trình: z = 0.

Tương tự:

Mặt phẳng (Oyz): x = 0

Mặt phẳng (Ozx): y = 0.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; –3) và song song với (Oxy): z + 3 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; –3) và song song với (Oyz): x – 2 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; –3) và song song với (Ozx): y – 6 = 0.

*Phương pháp giải:

nhớ kĩ lý thuyết SGk

*Lý thuyết:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi làphương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là$\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ$\overrightarrow{n}(A;B;C)$khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu$A=0,B\ne 0,C\ne 0$thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu$A\ne 0,B=0,C\ne 0$thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu$A\ne 0,B\ne 0,C=0$thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0;$C\ne 0$thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0;$B\ne 0$thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0;$A\ne 0$thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn$\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với$abc\ne 0$.