Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài 10 trang 81 SGK Toán lớp 12 Hình học:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O ≡ A;

$\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB};\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD};\overrightarrow{k}=\overrightarrow{\text{}AA\text{'}}$ 

Do hình lập phương có cạnh bằng 1 nên:

⇒ A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).

A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1); C’(1; 1; 1); D’(0; 1; 1).

a)

+ Ta có: $\overrightarrow{A\text{}B\text{'}}=(\text{}1;0;1);\overrightarrow{AD\text{'}}=(0;1;1)$

⇒ Vectơ pháp tuyến của (AB’D’) là:

$\overrightarrow{n_1}=\left.\overrightarrow{AB\text{'}};\overrightarrow{AD\text{'}}\right]=(-1;-1;1)$

+ $\overrightarrow{BC\text{'}}=(0;1;1);\overrightarrow{DC\text{'}}=(1;0;1)$

⇒ Vectơ pháp tuyến của (BC’D) là:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}=\left.\overrightarrow{BC};\overrightarrow{DC\text{'}}\right]=(1;1;-1)\\ \Rightarrow \overrightarrow{n_2}=-\overrightarrow{n_1}\end{array}$

Suy ra:  mp(AB’D’) // mp(BC’D).

b) Mặt phẳng (BC’D) có VTPT $\overrightarrow{n_2}$ (1;1; –1) và qua B (1; 0; 0) nên có phương trình:

1(x – 1) + 1(y – 0) – 1(z – 0)= 0

hay x + y – z – 1 = 0.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) chính là khoảng cách từ A đến (BC’D) và bằng :

$d=\frac{\left.0+0-0-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{(-1)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.