Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài 2 trang 80 SGK Toán lớp 12 Hình học:

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB.

Tọa độ

M: $\Rightarrow \begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=3\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=2\\ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}=5\end{array}\Rightarrow M(3;2;5)$

Do (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên mp(P) đi qua trung điểm M và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}(2;-2;-4)$ làm VTPT

Phương trình mặt phẳng (P) là:

2(x – 3 ) – 2( y – 2) – 4 (z – 5) = 0

Hay 2x – 2y – 4z + 18 = 0

Hay x – y – 2z + 9 = 0.

*Phương pháp giải:

Từ định nghĩa nêu trên ta có thể thấy rằng nếu (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Thì véc tơ AB chính là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Còn trung điểm I của đoạn AB chính là 1 điểm nằm trên mặt phẳng (P).

Do đó cách viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB như sau:

Bước 1: Tính véc tơ AB là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). (Cách tính véc tơ AB là lấy tọa độ điểm cuối B trừ đi tọa độ điểm đầu A tương ứng).

Bước 2: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. (Cách tìm tọa độ trung điểm là lấy tọa độ điểm A cộng tọa độ điểm B tương ứng, xong chia cho 2)

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I nhận véc tơ AB là véc tơ pháp tuyến.

*Lý thuyết:

Trước tiên chúng ta cùng ôn lại khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (đã học từ lớp 11).

Trong không gian cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của AB. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với đoạn thẳng AB. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Nếu phát biểu dưới dạng quỹ tích thì mặt phẳng trung trực là quỹ tích các điểm cách đều hai điểm cho trước.

Như vậy chúng ta có thể thấy khái niệm mặt phẳng trung trực cũng tương tự như khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng trong mặt phẳng.

2. Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Từ định nghĩa nêu trên ta có thể thấy rằng nếu (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Thì véc tơ AB chính là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Còn trung điểm I của đoạn AB chính là 1 điểm nằm trên mặt phẳng (P).

Do đó cách viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB như sau:

Bước 1: Tính véc tơ AB là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). (Cách tính véc tơ AB là lấy tọa độ điểm cuối B trừ đi tọa độ điểm đầu A tương ứng).

Bước 2: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. (Cách tìm tọa độ trung điểm là lấy tọa độ điểm A cộng tọa độ điểm B tương ứng, xong chia cho 2)

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I nhận véc tơ AB là véc tơ pháp tuyến.