HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số

HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1:

a) Xét dãy số (u_n) với u_n = 3n – 1. Tính u_{n + 1} và so sánh với u­_n.

b) Xét dãy số (v_n) với $v_n=\frac{1}{n^2}$ . Tính v_{n + 1} và so sánh với v_n.

Lời giải:

a) Ta có: u_{n + 1} = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n ta có: u_{n + 1} – u_n = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ ℕ^*.

b) Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$ .

Xét hiệu v_{n + 1} – v_n ta có:

v_{n + 1} – v_n = $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}-\frac{1}{n^2}$

 $=\frac{n^2-{\left(n+1\right)}^2}{n^2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{n^2-\left(n^2+2n+1\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{-\left(2n+1\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Tức là v_{n + 1} < v_n , ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy v_{n + 1} < v_n ∀ n ∈ ℕ^*.