Giải Toán 6 Bài 1 (Cánh diều): Phân số với tử và mẫu là số nguyên

Giải Toán 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên

Trả lời câu hỏi giữa bài

Giải Toán 6trang 25Tập 2

Toán lớp 6 trang 25 Câu hỏi khởi động: Ta đã biết $\frac{3}{5}$ là một phân số. Vậy $\frac{-3}{5}$ có phải là phân số không?

Lời giải:

Sau khi học xong bài học này, ta sẽ biết: $\frac{-3}{5}$ cũng là một phân số.

Toán lớp 6 trang 25 Hoạt động 1: Một tòa nhà chúng cư có ba tầng hầm được kí hiệu theo thứ tự từ trên xuống là B1, B2, B3. Độ cao của ba tầng hầm là bằng nhau. Biết rằng độ cao của mặt sàn tầng hầm B3 so với mặt đất là –10 m. Tính độ cao của mặt sàn tầng hầm B1 so với mặt đất.

Lời giải:

Do độ cao của ba tầng hầm là bằng nhau nên độ cao của mặt sàn tầng hầm B1 so với mặt đất là: $\left(-10\right):3=\frac{-10}{3}\left(\mathrm{m}\right).$

Vậy độ cao của mặt sàn tầng hầm B1 so với mặt đất là $\frac{-10}{3}\mathrm{m}.$

Toán lớp 6 trang 25 Hoạt động 2: Viết kết quả của phép chia a : b trong mỗi trường hợp sau theo mẫu:

Mẫu: $3:5=\frac{3}{5}$

a	22	–8	3	–5	0
b	5	11	–8	–7	–10

Lời giải:

+) Với a = 22, b = 5, khi đó kết quả của phép chia a : b được viết là: $22:5=\frac{22}{5};$

+) Với a = – 8, b = 11, khi đó kết quả của phép chia a : b được viết là: $-8:11=\frac{-8}{11};$

+) Với a = 3, b = –8, khi đó kết quả của phép chia a : b được viết là: $3:\left(-8\right)=\frac{3}{-8};$

+) Với a = –5, b = –7, khi đó kết quả của phép chia a : b được viết là: $\left(-5\right):\left(-7\right)=\frac{-5}{-7};$

+) Với a = 0, b = –10, khi đó kết quả của phép chia a : b được viết là: $0:\left(-10\right)=\frac{0}{-10}=0.$

Giải Toán 6trang 26Tập 2

Toán lớp 6 trang 26 Luyện tập vận dụng 1: Viết và đọc phân số trong mỗi trường hợp sau:

a) Tử số là – 6, mẫu số là 17;

b) Tử số là – 12, mẫu số là –37.

Lời giải:

a) Phân số có tử số là – 6 và mẫu số là 17, được viết là: $\frac{-6}{17}.$

Đọc là âm sáu phần mười bảy.

b) Phân số có tử số là –12 và mẫu số là – 37, được viết là: $\frac{-12}{-37}.$

Đọc là âm mười hai phần âm ba mươi bảy.

Toán lớp 6 trang 26 Luyện tập vận dụng 2: Cách viết nào dưới đây cho ta phân số:

a) $\frac{4}{-9};$

b) $\frac{0,25}{9};$

c) $\frac{-9}{0}.$

Lời giải:

a) Ta có: $\mathrm{a}=4;\mathrm{b}=17\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và $\mathrm{b}=17\ne 0$ nên $\frac{4}{-9}$ là một phân số.

b) Ta có $\mathrm{a}=0,25\notin \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $\frac{0,25}{9}$ không là một phân số.

c) Ta có $\mathrm{a}=-9;\mathrm{b}=0\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nhưng mẫu số b = 0 nên $\frac{-9}{0}$ không là một phân số.

Toán lớp 6 trang 26 Hoạt động 3:

a) Viết các phân số biểu thị phần đã tô màu trong mỗi hình bên.

b) Hai phân số đó có bằng nhau không?

Lời giải:

Ta xét hình:

Ở hình này ta thấy cả hình chữ nhật được chia làm 4 phần, phần tô màu chiếm 1 phần. Do đó phân số biểu thị cho phần đã tô màu là: $\frac{1}{4}$.

Ta xét hình:

Ở hình này ta thấy cả hình chữ nhật được chia làm 8 phần, phần tô màu chiếm 2 phần. Do đó phân số biểu thị cho phần đã tô màu là: $\frac{2}{8}$.

b) Hình chữ nhật bên ngoài của cả hai hình đều bằng nhau hơn nữa phần tô màu của hai hình cũng bằng nhau nên hai phân số biểu thị bằng nhau, ta viết: $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$.

Toán lớp 6 trang 26 Hoạt động 4: Xét hai phân số bằng nhau $\frac{1}{4}$ và $\frac{2}{8}$. So sánh tích của tử ở phân số thứ nhất và mẫu ở phân số thứ hai với tích của mẫu ở phân số thứ nhất và tử ở phân số thứ hai.

Lời giải:

Tích của tử ở phân số thứ nhất và mẫu ở phân số thứ hai là: 1.8 = 8.

Tích của tử ở phân số thứ hai và mẫu ở phân số thứ nhất là: 2.4 = 8.

Do đó: 1.8 = 2.4.

Vậy tích của tử ở phân số thứ nhất và mẫu ở phân số thứ hai bằng tích của mẫu ở phân số thứ nhất và tử ở phân số thứ hai.

Giải Toán 6trang 27Tập 2

Toán lớp 6 trang 27 Luyện tập 3: Các cặp phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) $\frac{4}{8}$ và $\frac{-1}{-2}$

b) $\frac{1}{-6}$ và $\frac{-3}{-18}$

Lời giải:

a) Ta có: 4.(–2) = –8; 8.(–1) = – 8 nên 4.(–2) = 8.(–1). Do đó $\frac{4}{8}=\frac{-1}{-2}.$

Vậy $\frac{4}{8}=\frac{-1}{-2}.$

b) Ta có: 1.(–18) = –18, (–6).(–3) = 18 nên $1.\left(-18\right)\ne \left(-6\right).\left(-3\right)$. Do đó $\frac{1}{-6}\ne \frac{-3}{-18}$.

Vậy $\frac{1}{-6}\ne \frac{-3}{-18}.$

Toán lớp 6 trang 27 Hoạt động 5:

a) Ta có: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$ vì 1.10= 5.2 (quy tắc bằng nhau của hai phân số).

Tìm số nguyên thích hợp ở $\boxed{\text{ ? }}$: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}=\frac{1.\boxed{\text{ ? }}}{5.\boxed{\text{ ? }}}$

b) Ta có: $\frac{4}{24}=\frac{-1}{-6}$ vì 4. (– 6) = 24. (–1) (quy tắc bằng nhau của bai phân số).

Tìm số nguyên thích hợp ở $\boxed{\text{ ? }}:\frac{4}{24}=\frac{-1}{-6}=\frac{4:\boxed{\text{ ? }}}{24:\boxed{\text{ ? }}}$

Lời giải:

a) Vì $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$ và 1.2 = 2; 5.2 = 10 nên ta điền: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}=\frac{1.2}{5.2}.$

b) Vì $\frac{4}{24}=\frac{-1}{-6}$ và 4:(–4) = –1; 24 :(–4) = –6 nên ta điền: $\frac{4}{24}=\frac{-1}{-6}=\frac{4:(-4)}{24:(-4)}$.

Giải Toán 6trang 28Tập 2

Toán lớp 6 trang 28 Luyện tập 4: Viết phân số sau thành số bằng nó và có mẫu là số dương: $\frac{\mathrm{a}}{-\mathrm{b}}\left(\mathrm{a}\in \mathrm{\mathbb{Z}},\mathrm{b}\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

Lời giải

Theo tính chất cơ bản của phân số, ta nhân cả tử và mẫu của phân số với (–1), ta được: $\frac{\mathrm{a}}{-\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{a}.\left(-1\right)}{-\mathrm{b}.\left(-1\right)}=\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}.$

Vậy ta được phân số $\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ là phân số có mẫu dương và $\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{a}}{-\mathrm{b}}.$

Toán lớp 6 trang 28 Hoạt động 6: Nêu cách rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên dương về phân số tối giản.

Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và – 1.

Lời giải

Cách rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên dương về phân số tối giản:

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1. Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ đi dấu "–” (nếu có)

Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Giải Toán 6trang 29Tập 2

Toán lớp 6 trang 29 Hoạt động 7: Nêu cách quy đồng mẫu nhiều phân số có tử và mẫu là số nguyên dương.

Lời giải

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số ta có thể quy đồng mẫu nhiều phân số có tử và mẫu là số nguyên.

Để quy đồng mẫu nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1. Viết các phân số đã cho về phân số có mẫu dương. Tìm BCNN của các mẫu dương đó để làm mẫu chung.

Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

Bước 3. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Giải Toán 6trang 30Tập 2

Toán lớp 6 trang 30 Luyện tập 5: Quy đồng mẫu những phân số sau: $\frac{-3}{8};\frac{2}{-3};\frac{3}{72}$.

Lời giải

Ta có: $\frac{2}{-3}=\frac{-2}{3}.$

Ta có: 8 = 2³; 3 = 3, 72 = 2³.3².

MTC = BCNN(8, 3, 72) = 2³.3² = 72.

Nhân tử phụ của phân số thứ nhất là 72 : 8 = 9, khi đó ta có:

$\frac{-3}{8}=\frac{-3.9}{8.9}=\frac{-27}{72};$

Nhân tử phụ của phân số thứ hai là 72 : 3 = 24, khi đó ta có:

$\frac{-2}{3}=\frac{-2.24}{3.24}=\frac{-48}{72};$

Phân số thứ ba không cần quy đồng.

Vậy các phân số sau khi quy đồng lần lượt là: $\frac{-27}{72};\frac{-48}{72};\frac{3}{72}.$

Bài tập

Xem lời giải

Xem lời giải

Xem lời giải

Xem lời giải

Xem lời giải

Xem lời giải

Xem lời giải

Lý thuyết Toán 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên đơn giản - Cánh diều

1. Khái niệm phân số

Kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 có thể viết dưới dạng$\frac{a}{b}.$

Ta gọi $\frac{a}{b}.$ là phân số.

Phân số $\frac{a}{b}.$ đọc là: a phần b, a là tử số (còn gọi tắt là tử), b là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).

Ví dụ 1. Kết quả của phép chia 5 cho 12 có thể viết dưới dạng $\frac{5}{12}.$

Ta gọi $\frac{5}{12}.$ là phân số và đọc là năm phần mười hai; trong đó 5 là tử số, 12 là mẫu số.

Chú ý: Mọi số nguyên a có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{a}{1}.$

Ví dụ 2. Số ‒2 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{-2}{1}.$

Số 30 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{30}{1}.$

2. Phân số bằng nhau

Khái niệm hai phân số bằng nhau: Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.

Quy tắc bằng nhau của hai phân số:

Xét hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$.

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì a.d = b.c. Ngược lại, nếu a.d = b.c thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Ví dụ 3. Hai phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không?

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$;

b) $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$

Ta so sánh hai tích (‒1).9 và 3.(‒3)

(‒1).9 = ‒9 và 3.(‒3) = ‒9

Do đó (‒1).9 = 3.(‒3).

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

b) $\frac{-4}{-10}$và $\frac{-6}{15}$

Ta so sánh hai tích (‒4).15 và (‒10).(‒6)

(‒4).15 = ‒60 và (‒10).(‒6) = 60

Do đó (‒1).9 ≠ 3.(‒3).

Vậy hai phân số $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$ không bằng nhau.

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Chú ý: Với a, b là hai số nguyên và b ≠ 0, ta luôn có: $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ và $\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$.

Ví dụ 4. $\frac{3}{-2}=\frac{-3}{2};\frac{-4}{-10}=\frac{4}{10}.$

3. Tính chất cơ bản của phân số

a) Tính chất cơ bản

- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a.m}{b.m}$ với $m\in \mathbb{Z}$, m ≠ 0.

- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a:n}{b:n}$ với m $\in$ ƯC(a, b).

Ví dụ 5.

a) $\frac{1}{2}=\frac{1.2}{2.2}=\frac{2}{4};\frac{1}{2}=\frac{1.\left(-3\right)}{2.\left(-3\right)}=\frac{-3}{-6}$;

b) $\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):3}{12:3}=\frac{-2}{4};\frac{6}{-12}=\frac{6:\left(-6\right)}{\left(-12\right):\left(-6\right)}=\frac{-1}{2}$.

Chú ý: Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.

Ví dụ 6. $\frac{6}{-12}=\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):6}{12:6}=\frac{-1}{2};$ $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$(với $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}*$).

b) Rút gọn về phân số tối giản

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1: Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ dấu “– “ (nếu có)

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Ví dụ 7. Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản có mẫu số là số dương.

a) $\frac{-12}{27}$;

b) $\frac{36}{-42}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-12}{27}$

Ta có ƯCLN(12, 27) = 3. Do đó $\frac{-12}{27}=\frac{\left(-12\right):3}{27:3}=\frac{-4}{9}$.

b) $\frac{36}{-42}.$

Ta có ƯCLN(36, 42) = 6. Do đó $\frac{36}{-42}=\frac{36:6}{\left(-42\right):6}=\frac{6}{-7}=\frac{-6}{7}.$

c) Quy đồng mẫu nhiều phân số

Để quy đồng nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1: Viết các phân số đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu dương đó để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu, bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 8. Quy đồng mẫu những phân số sau:

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$ và `$\frac{5}{-18}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

BCNN(6, 5) = 30.

Ta có: 30 : 6 = 5 và 30 : 5 = 6.

Vậy $\frac{-5}{6}=\frac{\left(-5\right).5}{6.5}=\frac{-25}{30}$ và $\frac{3}{5}=\frac{3.6}{5.6}=\frac{18}{30}$.

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$ và $\frac{5}{-18}$.

Ta có $\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}$.

BCNN(6, 12, 18) = 36.

Mà 36 : 6 = 6; 36 : 12 = 3 và 36 : 18 = 2.

Vậy $\frac{-1}{6}=\frac{\left(-1\right).6}{6.6}=\frac{-6}{36};$$\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}=\frac{5.3}{12.3}=\frac{15}{36}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}=\frac{\left(-5\right).2}{18.2}=\frac{-10}{36}.$