Do đó số viên gạch phải là bình phương của một số tự nhiên hay a là số chính phương. Số chính phương là các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Bạn An đếm được 113 viên gạch được lát nền nhà. Mà 113 không phải là số chính phương nên bạn An đã đếm sai.

Bài 42 trang 17 SBT Toán 6 Tập 1:

So sánh:

a) 2⁶ và 6²;

b) 7³⁺¹ và 7³ + 1;

c) 13¹⁴– 13¹³ và 13¹⁵ – 13¹⁴;

d) 3²⁺ⁿ và 2³⁺ⁿ.

Lời giải

a) Ta có:

2⁶ = 2.2.2.2.2.2 = 8.8 = 8²;

Vì 8 > 6 nên 8² > 6² hay 2⁶> 6².

Vậy 2⁶> 6².

b) Ta có: 7³⁺¹ = 7³.7

= 7³ + 7³ + 7³+ 7³ + 7³ + 7³+ 7³ > 7³ + 1.

Vậy 7³⁺¹ > 7³ + 1.

c) Ta có:

13¹⁴– 13¹³ = 13¹³.(13 – 1) = 13¹³.12.

13¹⁵ – 13¹⁴ = 13¹⁴.(13 – 1) = 13¹⁴.12.

Vì 14 > 13 nên 13¹⁴ > 13¹³.

Do đó 13¹⁴.12 > 13¹³.12 hay 13¹⁵ – 13¹⁴ > 13¹⁴– 13¹³.

Vậy 13¹⁵ – 13¹⁴ > 13¹⁴– 13¹³.

d) 3²⁺ⁿ và 2³⁺ⁿ.

Ta có: 3²⁺ⁿ = 3².3ⁿ = 9.3ⁿ;

2^{3 + n} = 2³.2ⁿ = 8.2ⁿ.

Vì 3 > 2 nên 3ⁿ > 2ⁿ và 9 > 3

Do đó 9.3ⁿ > 8.2ⁿ hay 3²⁺ⁿ > 2³⁺ⁿ.

Vậy 3²⁺ⁿ > 2³⁺ⁿ.

Bài 43 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

Rút gọn biểu thức sau:

a) A = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰;

b) B = 2¹⁰⁰ – 2⁹⁹+ 2⁹⁸ – 2⁹⁷ + … - 2³ + 2² – 2 + 1.

Lời giải

a) A = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰;

Ta có 3A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹

Khi đó: 3A – A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹ – (1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

= 3¹⁰¹– 1.

Suy ra: 2A = 3¹⁰¹– 1

A = (3¹⁰¹ – 1):2.

Vậy A = (3¹⁰¹ – 1):2.

b) B = 2¹⁰⁰ – 2⁹⁹+ 2⁹⁸ – 2⁹⁷ + … - 2³ + 2² – 2 + 1

Ta có: 2B = 2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰+ 2⁹⁹ – 2⁹⁸ + … 2³ – 2² + 2.

Khi đó 2B + B = (2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰+ 2⁹⁹ – 2⁹⁸ + … 2³ – 2² + 2) + (2¹⁰⁰ – 2⁹⁹+ 2⁹⁸ – 2⁹⁷ + … - 2³ + 2² – 2 + 1) = 2¹⁰¹ + 1

3B = 2¹⁰¹ + 1

Suy ra: B = (2¹⁰¹ + 1):3.

Vậy B = (2¹⁰¹ + 1):3.

Bài 44 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 7⁴.7⁵.7⁶;

b) (54 : 3)⁷.324;

c) [(8 + 2)².10¹⁰⁰] : (10⁰.10⁹⁴);

d) a⁹:a⁹ (a $\neq$ 0).

Lời giải

a) 7⁴.7⁵.7⁶ = 7^{4 + 5 + 6} = 7¹⁵;

b) (54:3)⁷:324 = 18⁷.324 = 18⁷.18.18

= 18^{7 + 1 + 1}= 18⁹;

c) [(8 + 2)².10¹⁰⁰] : (10⁰.10⁹⁴)

= [10².10¹⁰⁰]:(10⁹⁴)

= 10²^{+ 100}:10⁹⁴

= 10¹⁰²:10⁹⁴

= 10^{102 – 94}

= 10⁸.

d) a⁹:a⁹ (a $\neq$ 0)

= a^{9 – 9}

= a⁰.

Bài 45 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

a) Viết các số 123; 2 355; $\bar{abcde}$ dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.

b) Tìm số $\bar{abcdef} (d \neq 0)$ sao cho $\bar{abcdef} = 999 . \bar{abc} + 200$ .

Lời giải

a) Ta có: 123 = 1.100 + 2.10 + 3

= 1.10² + 2.10 + 3.10⁰.

Ta có: 2 355 = 2.1 000 + 3.100 + 5.10 + 5

= 2.10³ + 3.10² + 5.10 + 5.10⁰.

Ta có:

$\bar{abcde} = a . 10000 + b . 1000 + c . 100 + d . 10 + e = a . 10^{4} + b . 10^{3} + c . 10^{2} + d . 10 + e .$

b) Ta có: $\bar{abcdef} = \bar{abc} . 1000 + \bar{def}$

Mà $\bar{abcdef} = 999 . \bar{abc} + 200$

Nên $\bar{abc} . 1000 + \bar{def} = \bar{abc} . 999 + 200$ .

Do đó $\bar{abc} + \bar{def} = 200$ .

Vì $\bar{abc}, \bar{def}$ là các số có ba chữ số

nên $\bar{abc}, \bar{def} \geq 100$ hay $\bar{abc} + \bar{def} \geq 200$ .

Mà $\bar{abc} + \bar{def} = 200$ nên $\bar{abc} = \bar{def} = 100$ .

Vậy số cần tìm là 100 100.

Bài 46 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

Tìm số tự nhiên x, biết:

a) 2^x + 12 = 44;

b) 2.5^x+1 – 1.100 = 6.5²;

c) 2.3^x+1= 10.3¹² + 8.3¹²;

d) 2^x + 2^x+3 = 144.

Lời giải

a) 2^x + 12 = 44;

2^x = 44 – 12

2^x = 32

2^x = 2⁵

x = 5.

Vậy x = 5.

b) 2.5^x+1 – 1 100 = 6.5²

2.5^x+1 = 6.5² + 1 100

2.5^x+1 = 6.25 + 1 100

2.5^x+1 = 150 + 1 100

2.5^x+1 = 1 150

5^x+1 = 1 150:2

5^x+1 = 625

5^x+1 = 5⁴

x + 1 = 4

x = 4 – 1

x = 3.

Vậy x = 3.

c) 2.3^x+1= 10.3¹² + 8.3¹²

2.3^x+1= 3¹².(10 + 8)

2.3^x+1= 3¹².18

3^x+1= 3¹².18:2

3^x+1= 3¹².9

3^x+1= 3¹².3²

3^x+1= 3¹⁴

x + 1 = 14

x = 13.

Vậy x = 13.

d) 2^x + 2^x+3 = 144.

2^x + 2^x.2³ = 144

2^x(1 + 2³) = 144

2^x.(1 + 8) = 144

2^x.9 = 144

2^x= 144:9

2^x = 16

2^x = 2⁴

x = 4.

Vậy x = 4.

Bài 47 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

So sánh:

a) 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ và 3¹⁰⁰.3¹⁰⁰;

b) 21¹⁵và 27⁵.49⁸;

c) 3³⁹và 11².

Lời giải

a) Ta có nhận xét sau:

(a^m)ⁿ = a^m.a^m…a^m (n thừa số a^m) = a^{m + m + …+m} = a^m.n.

Ta có:

2²⁰⁰.2¹⁰⁰ = 2^{200 + 100}= 2³⁰⁰= 2^3.100 = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3¹⁰⁰.3¹⁰⁰ = 3^{100 + 100} = 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰.

Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ hay 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ < 3¹⁰⁰.3¹⁰⁰.

Vậy 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ < 3¹⁰⁰.3¹⁰⁰.

b) Ta có nhận xét sau:

(ab)^m = (ab).(ab).(ab)…(ab) = (a.a…a).(b.b…b) = a^m.b^m.

Khi đó:

21¹⁵= (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

27⁵.49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 3¹⁵.7¹⁵.7.

Vì 7¹⁵.3¹⁵ < 3¹⁵.7¹⁵.7 nên 21¹⁵ < 27⁵.49⁸.

Vậy 21¹⁵ < 27⁵.49⁸.

Bài 48 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

Tìm chữ số tận cùng của kết quả mỗi phép tính sau:

a) 54¹⁰;

b) 49¹⁵;

c) 11²⁰ + 119²¹ + 2 000²²;

d) 138³³ – 2 020¹⁴.

Lời giải

a) Ta có: 54¹⁰ = (54²)⁵ = (2 916)⁵.

Tích của 5 chữ số 6 có chữ số tận cùng là 6

nên (2 916)⁵ có chữ số tận cùng là 6.

Vậy 54¹⁰có chữ số tận cùng là 6.

b) 49¹⁵ = 49¹⁴.49 = (49²)⁷.49 = (2 401)⁷.49

Vì (2 401)⁷ có chữ số tận cùng là 1

nên (2 401)⁷.49 có chữ số tận cùng là 9.

Vậy chữ số tận cùng của số 49¹⁵ là 9.

c) Ta có 11²⁰có chữ số tận cùng là 1;

119²¹có chữ số tận cùng là 9;

2 000²²có chữ số tận cùng là 0.

Khi đó 11²⁰ + 119²¹ + 2 000²² có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng 1 + 9 + 0 =10.

Vậy 11²⁰ + 119²¹ + 2 000²² có chữ số tận cùng là 0.

d) 138³³ = 138³².138 = (138⁴)⁸.138.

Vì (138⁴)⁸ có chữ số tận cùng là 6

nên (138⁴)⁸.138 có tận cùng là 8.

Mà 2 020¹⁴có chữ số tận cùng là 0.

Do đó 138³³ – 2 020¹⁴ có chữ số tận cùng là 8.

Vậy chữ số tận cùng của 138³³ – 2 020¹⁴ là 8.

Bài 49 trang 18 SBT Toán 6 Tập 1:

a) Cho A = 4 + 2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵. Chứng tỏ rằng A là một lũy thừa cơ số 2.

b) Cho B = 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰²¹. Chứng tỏ B + 8 không thể là bình phương của một số tự nhiên.

Lời giải

a) Ta có:

A = 2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵

A – 4 = 2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵

2(A – 4) = 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰⁰⁶

2(A – 4) – (A – 4) = (2³ + 2⁴ + … + 2²⁰⁰⁶) – (2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵) = 2²⁰⁰⁶ – 2²

A – 4 = 2²⁰⁰⁶ – 4

A = 2²⁰⁰⁶.

Vậy A là một lũy thừa bậc 2006 cơ số 2.

b) B = 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰²¹

Ta thấy các lũy thừa cơ số 5 là một số có chữ số tận cùng là 5 mà B có 2021 số hang là lũy thừa của cơ số 5 nên chữ số tận cùng của B là 5. Suy ra B + 8 có kết quả là một số có chữ số tận cùng là 3 nên B + 8 không thể là bình phương của một số tự nhiên (vì không có bình phương số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 3).