Sách bài tập Toán 6 Bài 1 (Cánh diều): Phân số với tử và mẫu là số nguyên

Giải sách bài tập Toán 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên  

Bài 1 trang 30 SBT Toán 6 Tập 2:

Hãy biểu diễn bằng phần tô màu:

a) $\frac{3}{4}$ của hình vuông (Hình 1);

b) $\frac{2}{3}$ của hình chữ nhật (Hình 2).

Lời giải

a) Chia hình vuông thành 4 phần bằng nhau rồi tô màu 3 phần (hình vẽ).

b) Chia hình chữ nhật thành 3 phần bằng nhau rồi tô màu 2 phần (hình vẽ).

Bài 2 trang 30 SBT Toán 6 Tập 2:

Lời giải

Ta thấy hình chữ nhật được chia làm 8 phần bằng nhau, đã tô màu 3 phần nên phần tô màu biểu diễn phân số $\frac{3}{8}.$

Bài 3 trang 30 SBT Toán 6 Tập 2:

Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta phân số?

a) $-\frac{\mathrm{9,4}}{\mathrm{11,5}};$b) $\frac{-8}{0};$

c) $\frac{7}{1};$d) $\frac{n}{2}$ (n ∈ ℤ).

Lời giải

Phân số có dạng $\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên và b ≠ 0.

Cách viết $-\frac{\mathrm{9,4}}{\mathrm{11,5}}$ không cho ta phân số vì 9,4 và 11,5 không phải là số nguyên.

Cách viết $\frac{-8}{0}$ không cho ta phân số vì mẫu số bằng 0.

Cách viết $\frac{7}{1}$ cho ta phân số vì 7; 1 là các số nguyên và 1 ≠ 0.

Cách viết $\frac{n}{2}$ cho ta phân số vì n; 2 là các số nguyên và 2 ≠ 0.

Vậy cách viết c) và d) cho ta phân số.

Bài 4 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2:

$\frac{3}{7}$ và $\frac{6}{-14}$; $\frac{12}{-4}$ và $\frac{-9}{3}$; $\frac{-13}{9}$ và $\frac{13}{-9}$; – 5 và $\frac{-10}{2}$; $\frac{2x}{6}$ và $\frac{x}{3}$ (x ∈ ℤ).

Lời giải

• Do 3 . (–14) ≠ 7 . 6 nên $\frac{3}{7}$ và $\frac{6}{-14}$ không bằng nhau.

• Do 12 . 3 = (–4) . (–9) nên $\frac{12}{-4}=\frac{-9}{3}.$

• Do (–13) . (–9) = 9 . 13 nên $\frac{-13}{9}=\frac{13}{-9}.$

• Do – 5 = $\frac{-5}{1}$ và (–5) . 2 = 1. (–10) nên – 5 = $\frac{-10}{2}$.

• Do với x ∈ ℤ thì 2x . 3 = 6 . x nên $\frac{2x}{6}=\frac{x}{3}.$

Bài 5 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2: Viết mỗi phân số sau thành phân số bằng nó và có mẫu là số nguyên dương:

a) $\frac{-32}{-71}$;b) $\frac{14}{-17}$;

c) $\frac{5}{-39}$;d) $\frac{-x}{-y}$ (x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, y > 0).

Lời giải

a) $\frac{-32}{-71}=\frac{\left(-32\right).\left(-1\right)}{\left(-71\right).\left(-1\right)}=\frac{32}{71}$;

b) $\frac{14}{-17}=\frac{14.\left(-1\right)}{\left(-17\right).\left(-1\right)}=\frac{-14}{17}$;

c) $\frac{5}{-39}=\frac{5.\left(-1\right)}{\left(-39\right).\left(-1\right)}=\frac{-5}{39}$;

d) $\frac{-x}{-y}=\frac{\left(-x\right).\left(-1\right)}{\left(-y\right).\left(-1\right)}=\frac{x}{y}$ (x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, y > 0).

Bài 6 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2:

a) $\frac{4}{x}=\frac{y}{21}=\frac{28}{49}$;

b) $\frac{x}{7}=\frac{9}{y}$ và x > y;

c) $\frac{x}{15}=\frac{3}{y}$ và x < y < 0;

d) $\frac{x}{y}=\frac{21}{28}$.

Lời giải

a) Ta có $\frac{28}{49}=\frac{28:7}{49:7}=\frac{4}{7}$

Do đó

• $\frac{4}{x}=\frac{4}{7}$ nên x = 7;

• $\frac{y}{21}=\frac{4}{7}$ nên y . 7 = 21 . 4 = 84

Suy ra y = 84 : 7 = 12.

Vậy x = 7, y = 12.

b) Ta có $\frac{x}{7}=\frac{9}{y}$ nên x . y = 7 . 9 = 63.

Mà 63 = 63.1 = 21.3 = 9.7 = (–1).(–63) = (–3).(–21) = (–7).(–9)

Lại có x > y nên ta có bảng sau:

c) Ta có $\frac{x}{15}=\frac{3}{y}$ nên x . y = 15 . 3 = 45.

Mà 45 = (–45).(–1) = (–15).(–3) = (–9).(–5) = 45.1 = 15.3 = 9.5

Lại có x < y < 0 nên ta có bảng sau:

d) Ta có $\frac{x}{y}=\frac{21}{28}=\frac{21:7}{28:7}=\frac{3}{4}=\frac{3k}{4k}$ với k ∈ ℤ, k ≠ 0.

Do đó có vô số giá trị x, y thoả mãn x = 3k và y = 4k (k ∈ ℤ, k ≠ 0).

Bài 7 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2: Rút gọn về phân số tối giản:

a) $\frac{-147}{252}$;b) $\frac{765}{900}$;c) $\frac{11.3-11.8}{17-6}$;

d) $\frac{3^5{.2}^4}{{8.3}^6}$;e) $\frac{84.45}{49.54}$.

Lời giải

a) $\frac{-147}{252}=\frac{\left(-147\right):21}{252:21}=\frac{-7}{12}$;

b) $\frac{765}{900}=\frac{765:45}{900:45}=\frac{17}{20}$;

c) $\frac{11.3-11.8}{17-6}=\frac{11.\left(3-8\right)}{11}=\frac{11.\left(-5\right)}{11}=-5$;

d) $\frac{3^5{.2}^4}{{8.3}^6}=\frac{3^5{.2}^{3+1}}{2^3{.3}^{5+1}}=\frac{3^5{.2}^3.2}{2^3{.3}^5.3}=\frac{2}{3}$;

e) $\frac{84.45}{49.54}=\frac{\mathrm{7.12.5.9}}{\mathrm{7.7.6.9}}=\frac{12.5}{7.6}=\frac{\mathrm{2.6.5}}{7.6}=\frac{10}{7}$.

Bài 8 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2:

Giải thích tại sao các phân số sau đây bằng nhau:

a) $\frac{-630}{224}=\frac{-45}{16}$;b) $\frac{352352}{-470470}=\frac{-176}{235}$;

Lời giải

a) $\frac{-630}{224}=\frac{\left(-630\right):14}{224:14}=\frac{-45}{16}$;

b) $\frac{352352}{-470470}=\frac{352352:\left(-1001\right)}{\left(-470470\right):\left(-1001\right)}$

$=\frac{-352}{470}=\frac{\left(-352\right):2}{470:2}=\frac{-176}{235}$;

Vì

     100 chữ số 9100 chữ số 9

Bài 9 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2:

Cho biểu thức $A=\frac{3}{n+2}$.

a) Số nguyên n phải thoả mãn điều kiện gì để A là phân số?

b) Tìm phân số A khi n = 0, n = 2, n = – 7.

c) Tìm các số nguyên n để A là một số nguyên.

Lời giải

a) Để $A=\frac{3}{n+2}$ là phân số thì n + 2 là số nguyên khác 0, tức n là số nguyên khác – 2.

b) Xét biểu thức $A=\frac{3}{n+2}$.

• Với n = 0 thì $A=\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}$.

• Với n = 2 thì $A=\frac{3}{2+2}=\frac{3}{4}$.

• Với n = –7 thì $A=\frac{3}{-7+2}=\frac{3}{-5}$.

c) Với n là số nguyên, để $A=\frac{3}{n+2}$ là một số nguyên thì 3 ⋮ (n + 2) hay (n + 2) là ước của 3.

Mà Ư(3) = {–3; –1; 1; 3} nên (n + 2) ∈ {–3; –1; 1; 3}.

Ta có bảng sau:

Vậy n ∈ {–5; –3; –1; 1}.

Bài 10 trang 31 SBT Toán 6 Tập 2:

a) Rút gọn A.

b) Hãy xoá một số hạng ở tử và xoá một số hạng ở mẫu của phân số A để được phân số mới có giá trị vẫn bằng A.

Lời giải

a) Ta có 1 + 2 + 3 + … + 9 = $\frac{9.\left(9+1\right)}{2}=45$;

11 + 12 + 13 + … + 19 = $\frac{9.\left(19+11\right)}{2}=135$.

Vậy $A=\frac{1}{3}.$

b) Gọi số hạng cần xoá ở tử là m, số hạng cần xoá ở mẫu là n (1 ≤ m ≤ 9; 11 ≤ n ≤ 19; m, n ∈ ℕ).

Khi đó ta có $\frac{45-m}{135-n}=\frac{1}{3}$

Suy ra 3 . (45 – m) = (135 – n) . 1

Hay 3 . 45 – 3 . m = 135 – n

       135 – 3m = 135 – n

       3m = n

Ta có bảng sau:

 Khi đó:

• Xoá số 4 ở tử và xoá số 12 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-4}{135-12}=\frac{41}{123}=\frac{41:41}{123:41}=\frac{1}{3}$;

• Xoá số 5 ở tử và xoá số 15 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-5}{135-15}=\frac{40}{120}=\frac{40:40}{120:40}=\frac{1}{3}$;

• Xoá số 6 ở tử và xoá số 18 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-6}{135-18}=\frac{39}{117}=\frac{39:39}{117:39}=\frac{1}{3}$.

Bài 11 trang 31, 32 SBT Toán 6 Tập 2:

a) Một mẫu Bắc Bộ bằng 3 600 m². Một mẫu Bắc Bộ bằng bao nhiêu phần của một héc-ta?

b) Một pao (pound) bằng 0,45 kg. Một pao bằng bao nhiêu phần của một ki-lô-gam?

c) Một vòi nước chảy vào bể không có nước trong 48 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi vào bể không có nước trong 36 phút thì lượng nước chiếm bao nhiêu phần bể?

Lời giải

a) Vì 1 000 m² = 1 ha

Nên 3 600 m² = $\frac{3600}{1000}=\frac{3600:400}{1000:400}=\frac{9}{25}$ ha.

Vậy một mẫu Bắc Bộ bằng $\frac{9}{25}$ héc-ta.

b) Ta có 0,45 = $\frac{45}{100}=\frac{45:5}{100:5}=\frac{9}{20}$.

Vậy 0,45 kg = $\frac{9}{20}$ kg.

c) Do vòi chảy 48 phút vào bể không có nước thì đầy bể nên mỗi phút vòi chảy được

$\frac{1}{48}$ phần của bể.

Vậy 36 phút vòi chảy được $36.\frac{1}{48}=\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$phần của bể.

Bài 12 trang 32 SBT Toán 6 Tập 2:

Cô giáo khuyên em điều gì?

Chọn số thích hợp cho $\boxed{?}$. Sau đó, viết các chữ tương ứng với các số tìm được vào các ô ở bảng dưới cùng để biết lời khuyên của cô giáo.

Â. $\frac{-5}{9}=\frac{10}{\boxed{?}}$        L. $\frac{12}{-8}=\frac{\boxed{?}}{6}$I. $\frac{\boxed{?}}{14}=\frac{-23}{7}$Ờ. $\frac{34}{12}=\frac{17}{\boxed{?}}$

N. $\frac{-24}{\boxed{?}}=\frac{6}{5}$V. $\frac{15}{-7}=\frac{-15}{\boxed{?}}$G. $\frac{-9}{12}=\frac{\boxed{?}}{36}$H. $\frac{7}{15}=\frac{21}{\boxed{?}}$

A. $\frac{8}{13}=\frac{\boxed{?}}{39}$M. $\frac{\boxed{?}}{11}=\frac{-22}{121}$C. $\frac{-3}{17}=\frac{-15}{\boxed{?}}$Ẹ. $\frac{4}{-9}=\frac{\boxed{?}}{-27}$

Lời giải

• Â. $\frac{-5}{9}=\frac{10}{\boxed{?}}$ suy ra $-5.\boxed{?}=9.10$

Do đó $\boxed{?}=\frac{9.10}{-5}=\frac{\mathrm{9.5.2}}{-5}=\frac{9.2}{-1}=-18$;

• L. $\frac{12}{-8}=\frac{\boxed{?}}{6}$ suy ra $12.6=-8.\boxed{?}$

Do đó $\boxed{?}=\frac{12.6}{-8}=\frac{72}{-8}=-9$;

• I. $\frac{\boxed{?}}{14}=\frac{-23}{7}$ suy ra $\boxed{?}.7=14.\left(-23\right)$

Do đó $\boxed{?}=\frac{14.\left(-23\right)}{7}=\frac{\mathrm{2.7.}\left(-23\right)}{7}=2.\left(-23\right)=-46$;

• Ờ. $\frac{34}{12}=\frac{17}{\boxed{?}}$ suy ra $34.\boxed{?}=12.17$

Do đó $\boxed{?}=\frac{12.17}{34}=\frac{\mathrm{2.6.17}}{2.17}=6$;

• N. $\frac{-24}{\boxed{?}}=\frac{6}{5}$ suy ra $-24.5=\boxed{?}.6$

Do đó $\boxed{?}=\frac{-24.5}{6}=\frac{-\mathrm{4.6.5}}{6}=-4.5=-20$;

• V. $\frac{15}{-7}=\frac{-15}{\boxed{?}}$ suy ra $15.\boxed{?}=\left(-7\right).\left(-15\right)$

Do đó  $\boxed{?}=\frac{\left(-7\right).\left(-15\right)}{15}=\frac{7.15}{15}=7$;

• G. $\frac{-9}{12}=\frac{\boxed{?}}{36}$ suy ra $-9.36=12.\boxed{?}$

Do đó $\boxed{?}=\frac{-9.36}{12}=\frac{-\mathrm{9.3.12}}{12}=-9.3=-27$;

• H. $\frac{7}{15}=\frac{21}{\boxed{?}}$ suy ra $7.\boxed{?}=15.21$

Do đó $\boxed{?}=\frac{15.21}{7}=\frac{\mathrm{15.3.7}}{7}=15.3=45$;

• A. $\frac{8}{13}=\frac{\boxed{?}}{39}$ suy ra $8.39=13.\boxed{?}$

Do đó $\boxed{?}=\frac{8.39}{13}=\frac{\mathrm{8.3.13}}{13}=8.3=24$;

• M. $\frac{\boxed{?}}{11}=\frac{-22}{121}$ suy ra $\boxed{?}.121=11.\left(-22\right)$

Do đó $\boxed{?}=\frac{11.\left(-22\right)}{121}=\frac{\mathrm{11.11.}\left(-2\right)}{11.11}=-2$;

• C. $\frac{-3}{17}=\frac{-15}{\boxed{?}}$ suy ra $-3.\boxed{?}=17.\left(-15\right)$

Do đó $\boxed{?}=\frac{17.\left(-15\right)}{-3}=\frac{17.\left(-3\right).5}{-3}=17.5=85$;

• Ẹ. $\frac{4}{-9}=\frac{\boxed{?}}{-27}$ suy ra $4.\left(-27\right)=-9.\boxed{?}$

Do đó $\boxed{?}=\frac{4.\left(-27\right)}{-9}=\frac{\mathrm{4.3.}\left(-9\right)}{-9}=4.3=12$.

Ta có bảng sau:

Vậy cô giáo khuyên em “VÂNG LỜI CHA MẸ”.

Bài 13 trang 32 SBT Toán 6 Tập 2:

Lời giải

Gọi số cộng thêm vào tử và mẫu là m.

Khi đó ta có phân số mới là $\frac{-5+m}{9+m}=\frac{2}{9}$

Suy ra:

(–5 + m) . 9 = (9 + m) . 2

(–5) . 9 + m . 9 = 9 . 2 + m . 2

–45 + 9m = 18 + 2m

9m – 2m = 18 + 45

7m = 63

m = 63 : 7 = 9.

Vậy số cần cộng thêm vào tử và mẫu là 9.

Bài 14 trang 32 SBT Toán 6 Tập 2:

Lời giải

Gọi d = ƯCLN(14n + 3; 21n + 4).

Khi đó 14n + 3 và 21n + 4 chia hết cho d.

Suy ra 3 . (14n + 3) và 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Do đó 3 . (14n + 3) – 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Hay 3 . 14n + 3 . 3 – 2 . 21n – 2 . 4 chia hết cho d.

Từ đó suy ra 42n + 9 – 42n – 8 = 1 chia hết cho d.

Khi đó ta có d = 1.

Vậy ƯCLN(14n + 3; 21n + 4) = 1 hay $\frac{14n+3}{21n+4}$ là phân số tối giản (n là số tự nhiên).