Hoạt động khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Hoạt động khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính sin$\widehat{BDC}$  theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc $\widehat{BAC}$  và $\widehat{BDC}$. Từ đó chứng minh rằng 2R = $\frac{a}{\sin A}$.

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = $\frac{a}{\sin A}$.

Lời giải:

a)

i) Vì BD là đường kính nên $\widehat{BCD}=90°$.

Xét tam giác BCD vuông tại C, có:

$\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}$(1)

ii)

TH1. Nếu góc A nhọn (Hình 6a) thì:

Ta có hai góc nội tiếp $\widehat{BAC}$và $\widehat{BDC}$cùng chắn cung BC nên $\widehat{BAC}$= $\widehat{BDC}$(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow 2R=\frac{a}{\sin A}$.

TH2. Nếu góc A tù (Hình 6b) thì:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180°\Rightarrow \widehat{BAC}=180°-\widehat{BDC}$

⇒$\sin \widehat{BAC}$= $\sin \left(180°-\widehat{BDC}\right)=\sin \widehat{BDC}$(3)

Từ (1) và (3) ta suy ra: $\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow 2R=\frac{a}{\sin A}$.

b)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC nên BC = a = 2R.

sinA = $\sin {90}^0=1$

Hay $2R=\frac{a}{\sin A}$