Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Bài 3 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tỉnh khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Lời giải:

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.

Ta có BC // (SAI)

Suy ra d(BC, SA) = d(BC, (SAI))

= d(B, (SAI)) = $\frac{3}{2}d\left(H,\left(SAI\right)\right)$ .

Gọi K là hình chiếu của H trên SI.

Dễ dàng chứng minh được AI ⊥ (SHI) $\Rightarrow$ AI ⊥ HK.

$\Rightarrow$ HK ⊥ (SAI) $\Rightarrow$ d(H, (SAI)) = HK.

$\widehat{HAI}=180°-(60°+60°)=60°$

Tam giác AIH vuông tại I:

$\begin{array}{c}IH=AH.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\\ \left(SC,\left(ABC\right)\right)=\left(SC,CH\right)=\widehat{SCH}=60°.\\ C{H}^2=B{C}^2+B{H}^2-2.BC.BH.\cos 60°=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{7}}{3}.\end{array}$

Tam giác SHC vuông tại H: $SH=HC.\tan 60°=\frac{a\sqrt{21}}{3}.$

Tam giác SHI vuông tại H:

$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{I}^2}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{42}}{12}.$

$d\left(B,\left(SAI\right)\right)=\frac{3}{2}.HK=\frac{a\sqrt{42}}{8}.$

$\Rightarrow d\left(SA,BC\right)=\frac{a\sqrt{42}}{8}.$