Cho hàm số f(x)=x^2-x khi x<=0; f(x)=-x^3+mx khi x>0, với m là tham số

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9

Bài 9.44 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = với m là tham số. Tìm m để hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

+) Với x < 0 thì f(x) = x² – x. Có f'(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x³ + mx. Có f'(x) = −3x² + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-x^3+mx}{x}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-x^2+m\right)=m$.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-x}{x}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-1\right)=-1$.

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.