Cho hàm số f(x)=x+ căn(4+x^2). a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9

Bài 9.43 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x + $\sqrt{4+x^2}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm tập xác định của f'(x).

c) Tìm x sao cho f'(x) = 0.

Lời giải:

a) Điều kiện 4 – x² $\ge$ 0 $\iff$ −2 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là [−2; 2].

b) Có f'(x) = (x+$\sqrt{4-x^2}$)' = 1 + $\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4-x^2}}$

$=1+\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}$$=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$$=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}$.

Điều kiện để f'(x) xác định là 4 – x² > 0 $\iff$ −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của f'(x) là (−2; 2).

c) Có f'(x) = 0 thì $\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}=0$$\Rightarrow \sqrt{4-x^2}-x=0$

$\iff \sqrt{4-x^2}=x$$\iff x=\sqrt{2}$.

Kết hợp với điều kiện ở câu b, ta có $x=\sqrt{2}$ là giá trị cần tìm.