Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1)

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 9 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Lời giải:

a) Đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1)

$\iff \frac{\left(m+1\right).0-2m+1}{0-1}=-1$

 $\iff$2m – 1 = – 1

 $\iff$ m = 0

Vậy m = 0 thì đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Với m = 0, hàm số trở thành: $y=\frac{x+1}{x-1}$

- TXĐ: D = $ℝ$ \ {1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

$y^{\text{'}}=\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}<0\forall x\in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$

Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1$

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)

+ Giao điểm với Oy: (0; -1)

c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm P(0;-1), khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm P(0; -1) là:

y = y'(0).(x – 0) – 1

Lại có: y'(0) =$\frac{-2}{{\left(0-1\right)}^2}=-2$

Khi đó phương trình tiếp tuyến:

y = – 2x – 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = – 2x – 1