Cho hàm số y = x^3 + (m + 3)x^2 + 1 - m (m là tham số) có đồ thị (Cm)

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 8 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số y = x³ + (m + 3)x² + 1 - m (m là tham số) có đồ thị (C_m).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2.

Lời giải:

a) Xét hàm số

y = x³ + (m + 3)x² + 1 – m.

+ TXĐ : D = $ℝ$

+ y' = 3x² + 2(m + 3).x

y'' = 6x + 2(m + 3).

+ Hàm số có điểm cực đại là x = -1

$\iff \begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(-1\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-1\right)<0\end{array}\iff \begin{array}{l}3-2\left(m+3\right)=0\\ -6+2\left(m+3\right)<0\end{array}\iff \begin{array}{l}-2m-3=0\\ 2m<0\end{array}\iff m=\frac{-3}{2}$

Vậy với $m=\frac{-3}{2}$ thì hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2

$\iff$ y(-2) = 0

$\iff$(-2)³ + (m + 3).(-2)² + 1 - m = 0

$\iff$-8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0

$\iff$3m + 5 = 0

$\iff$ m = $-\frac{5}{3}$

Vậy $m=-\frac{5}{3}$ thì đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = - 2.