Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 2 trang 43 Toán lớp 12 Giải tích:

a) y = – x⁴ + 8x² – 1;

b) y = x⁴ – 2x² + 2;

c) $y=\frac{1}{2}{x}^4+x^2-\frac{3}{2};$

d) y = – 2x² – x⁴ + 3.

Lời giải:

a) Hàm số y = – x⁴ + 8x² – 1.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -4x³ + 16x = -4x(x² - 4)

y' = 0 - 4x(x² - 4) = 0  

$\iff$x = 0 ; x = ±2

Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2),

y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞),

y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại

x = 2 và x = -2 ; y_CĐ = 15

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = 0 ; y_CT = -1.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(-1+\frac{8}{x^2}-\frac{1}{x^4}\right)=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)⁴ + 8(-x)² - 1

         = -x⁴ + 8x² - 1 = y(x)

Suy ra đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; - 10).

b) Hàm số y = x⁴ – 2x² + 2.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

y' = 0$\iff$4x(x² - 1) = 0

$\iff$x = 0 ; x = ±1.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(1-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^4}\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)

3. Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).

+ Đồ thị hàm số:

c) Hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4+x^2-\frac{3}{2}$

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ y' = 2x³ + 2x = 2x(x² + 1)

   y' = 0 $\iff$2x(x² + 1) = 0

 $\iff$x = 0

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{2x^4}\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: $\left(0;\frac{-3}{2}\right)$

3. Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;\frac{-3}{2}\right)$

d) Hàm số y = -2x² – x⁴ + 3.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -4x - 4x³ = -4x(1 + x²)

y' = 0$\iff$ -4x(1 + x²) = 0$\iff$ x = 0

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(\frac{-2}{x^2}-1+\frac{3}{x^4}\right)=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

3. Đồ thị:

+ Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).