Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 3 trang 43 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $y=\frac{x+3}{x-1}$;

b) $y=\frac{1-2x}{2x-4};$

c) $y=\frac{-x+2}{2x+1}.$

Lời giải:

a) Hàm số $y=\frac{x+3}{x-1}$

1. Tập xác định: D = $ℝ$ \ {1}

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

$y=\frac{x+3}{x-1}=\frac{x-1+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{-4}{{\left(x-1\right)}^2}<0\forall x\in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$

Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

Lại có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+3}{x-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1$

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Đồ thị nhận (1; 1) là tâm đối xứng.

b) Hàm số $y=\frac{1-2x}{2x-4}$ 

1. Tập xác định: D = $ℝ$ \ {2}

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

$y=\frac{1-2x}{2x-4}=\frac{-\left(2x-4\right)-3}{2x-4}=-1-\frac{3}{2x-4}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{3.2}{{\left(2x-4\right)}^2}=\frac{6}{{\left(2x-4\right)}^2}>0\forall x\in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=-\infty$

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-2x}{2x-4}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-2}{2-\frac{4}{x}}=-1$

Suy ra y = -1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: $\left(0;-\frac{1}{4}\right)$

+ Giao với Ox: $\left(\frac{1}{2};0\right)$

+ Đồ thị hàm số nhận (2; -1) là tâm đối xứng.

c) Hàm số $y=\frac{-x+2}{2x+1}$

1. Tập xác định: D = $ℝ\backslash \left.-\frac{1}{2}\right\}$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

$y^{\text{'}}=\frac{-1.\left(2x+1\right)-2\left(-x+2\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}=\frac{-5}{{\left(2x+1\right)}^2}<0\forall x\in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{-1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{-x+2}{2x+1}=-\infty ;\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{-x+2}{2x+1}=+\infty$

Suy ra $x=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-x+2}{2x+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-1+\frac{2}{x}}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

Suy ra $y=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 2)

+ Giao với Ox: (2; 0)

+ Đồ thị hàm số nhận $\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ là tâm đối xứng.