Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 6 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\frac{mx-1}{2x+m}$.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A\left(-1;\sqrt{2}\right).$

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ\backslash \left.\frac{-m}{2}\right\}.$

a) Với mọi tham số m ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{m\left(2x+m\right)-2\left(mx-1\right)}{{\left(2x+m\right)}^2}=\frac{m^2+2}{{\left(2x+m\right)}^2}>0\forall x\in D.$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:

+ Khi $x\to {\left(-\frac{m}{2}\right)}^{+}$:

mx – 1 → $-\frac{m^2}{2}-1<0$;

2x + m → 0⁺

$\Rightarrow \underset{x\to {\left(-\frac{m}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{mx-1}{2x+m}=-\infty$

$\Rightarrow x=\frac{-m}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua $A\left(-1;\sqrt{2}\right)$

$\iff \frac{-m}{2}=-1\iff$m = 2.

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A\left(-1;\sqrt{2}\right).$

c) Với m = 2 ta được hàm số: $y=\frac{2x-1}{2x+2}$

- TXĐ: D = $ℝ$ \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=+\infty$;$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=-\infty$

Suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x-1}{2x+2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{2+\frac{2}{x}}=1$

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

+ Đồ thị cắt trục tung tại $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$.

+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.