Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x^4 + 2x^2 + 3

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Hoạt động 4 trang 36 Toán lớp 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x⁴ + 2x² + 3.

Bằng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x⁴ + 2x² + 3 = m.

Lời giải:

1.TXĐ: D = $ℝ$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: y’ = -4x³ + 4x.

Cho y’ = 0 $\iff$x = 0 hoặc x = ±1.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }=-\infty$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên: (-∞; -1), (0; 1).

Hàm số nghịch biến trên: (-1; 0), (1; +∞).

Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại x = -1 và x = 1.

Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại x = 0.

3. Đồ thị

* Giải biện luận phương trình -x⁴ + 2x² + 3 = m.

Số giao điểm của hai đồ thị y = -x⁴ + 2x² + 3 và y = m là số nghiệm của phương trình trên.

Với m > 4. Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.

Với m = 4 và m < 3. Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với m = 3. Hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Với 3 < m < 4. Hai đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.