Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1)

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 7 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng $\frac{7}{4}$.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)

$\iff \frac{1}{4}.{\left(-1\right)}^4+\frac{1}{2}.{\left(-1\right)}^2+m=1\iff m=\frac{1}{4}$

Vậy $m=\frac{1}{4}$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1).

b) Với m = 1, hàm số trở thành $y=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1$

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = x³ + x = x(x² + 1)

y' = 0 $\iff$ x(x² + 1) x = 0

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0)

Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

- Đồ thị:

+ Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1,75); (1; 1,75); (-2; 7); (2; 7).

c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng $\frac{7}{4}$ nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1=\frac{7}{4}\iff \begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$

Có: y' = x³ + x

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $\left(1;\frac{7}{4}\right)$:

y’(1) = 2

Phương trình tiếp tuyến:

 $y=2\left(x-1\right)+\frac{7}{4}$ hay $y=2x-\frac{1}{4}$

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $\left(-1;\frac{7}{4}\right)$:

y’(-1) = -2.

Phương trình tiếp tuyến: 

$y=-2\left(x+1\right)+\frac{7}{4}$ hay $y=-2x-\frac{1}{4}$.