Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x³ - 3x² + 5 = 0 ;

b) -2x³ + 3x² - 2 = 0 ;

c) 2x² - x⁴ = -1.

Lời giải:

a) Xét y = f(x) = x³ - 3x² + 5 (1)

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0$\iff$x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình x³ - 3x² + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số y = f(x) = -2x³ + 3x² – 2.

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -6x² + 6x = -6x(x - 1)

y' = 0$\iff$x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình -2x³ + 3x² - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

c) Xét hàm số y = f(x) = 2x² – x⁴

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 4x - 4x³ = 4x(1 - x²)

y' = 0 $\iff$ x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm.

Suy ra phương trình f(x) = -1 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.