Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x^3+ 3x + 1

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x³ + 3x + 1.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: x³ - 3x + m = 0

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = -x³ + 3x + 1

- Tập xác định: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -3x² + 3 = -3(x² - 1)

y' = 0 $\iff$ -3(x² - 1) = 0 $\iff$ x = ±1.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = -1 ; y_CT = -1.

Hàm số đạt cực đại tại

x = 1 ; y_CĐ = 3.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2; -1).

b) Ta có: x³ - 3x + m = 0 (*)

$\iff$-x³ + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 1 và đường thẳng y = m + 1.

Kết hợp với quan sát đồ thị hàm số ta có:

+ Nếu m + 1 < –1$\iff$m < –2

$\Rightarrow$(C) cắt (d) tại 1 điểm.

Phương trình (*) có 1 nghiệm.

+ Nếu m + 1 = –1$\iff$ m = –2

$\Rightarrow$ (C) cắt (d) tại 2 điểm

Phương trình (*) có 2 nghiệm.

+ Nếu –1 < m + 1 < 3

$\iff$ –2 < m < 2

$\Rightarrow$ (C) cắt (d) tại 3 điểm.

Phương trình (*) có 3 nghiệm.

+ Nếu m + 1 = 3 $\iff$ m = 2

 $\Rightarrow$(C) cắt (d) tại 2 điểm.

Phương trình (*) có hai nghiệm.

+ Nếu m + 1 > 3 $\iff$ m > 2

$\Rightarrow$(C) cắt (d) tại 1 điểm

Phương trình (*) có một nghiệm.

Kết luận:

+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.

+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.

+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.