Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1 trang 43 Toán lớp 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x - x³ ;

b) y = x³ + 4x² + 4x;

c) y = x³ + x² + 9x ;

d) y = -2x³ + 5.

Lời giải:

a) Hàm số y = 2 + 3x - x³ 

  = -x³ + 3x + 2.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -3x² + 3.

y' = 0 $\iff$ x = ±1.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (-1 ; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại

x = 1, y_CĐ = 4 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = -1 ; y_CT = 0.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2+3x-x^3\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3.\left(\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}-1\right)=+\infty \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+3x-x^3\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3.\left(\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}-1\right)=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có : 2 + 3x – x³ = 0

$\iff \begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}$

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).

y(0) = 2 nên giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

Đồ thị hàm số :

b) Hàm số y = x³ + 4x² + 4x.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

y' = 3x² + 8x + 4;

$y^{\text{'}}=0\iff \begin{array}{l}x=-2\\ x=-\frac{2}{3}\end{array}$

Trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(-\frac{2}{3};+\infty \right)$ thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên $\left(-2;-\frac{2}{3}\right)$ thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại

x = - 2, y_CĐ = 0;

Hàm số đạt cực tiểu tại

$x=\frac{-2}{3}$; y_CT = $\frac{-32}{27}$.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+4x^2+4x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)=-\infty \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3+4x^2+4x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có : x³ + 4x² + 4x = 0  

$\iff \begin{array}{l}x=-2\\ x=0\end{array}$

Vậy giao điểm của đồ thị với Ox là (0; 0) và (-2 ;0).

Đồ thị hàm số :

c) Hàm số y = x³ + x² + 9x.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x² + 2x + 9

 = 3(x² + $2.\frac{1}{3}x$ + $\frac{1}{9}$) + $\frac{26}{3}$

 = 3(x + $\frac{1}{3}$)² + $\frac{26}{3}$ > 0 với mọi x

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên .

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x}+\frac{9}{x^2}\right)=-\infty \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x}+\frac{9}{x^2}\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (0 ; 0).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 11) ; (-1; -9)

d) Hàm số y = - 2x³ + 5.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = - 6x² $⩽$0 với mọi số thực x.

Hàm số nghịch biến trên $ℝ$

Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(-2+\frac{5}{x^3}\right)=-\infty \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(-2+\frac{5}{x^3}\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có: y’’ = -12 x

Cho y’’ = 0$\Rightarrow$x = 0

Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 5) làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 5), cắt trục Ox tại điểm $\left(\sqrt[3]{\frac{5}{2}};0\right)$.