Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau: n + 2 và n + 3

Giải SBT Toán 6 Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất

Bài 114 trang 34 SBT Toán 6 Tập 1:

Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau:

a) n + 2 và n + 3;

b) 2n + 1 và 9n + 4.

Lời giải

a) Đặt d = ƯCLN(n + 2, n + 3).

Suy ra n + 2 chia hết cho d, n + 3 chia hết cho d.

Ta có n + 3 = n + 2 + 1.

Mà n + 2 chia hết cho d nên 1 chia hết cho d.

Do đó d = 1.

Vậy n + 2 và n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

b) Đặt d = ƯCLN(2n + 1, 9n + 4).

Suy ra 2n + 1, 9n + 4 chia hết cho d.

Do đó 9(2n + 1) cũng chia hết cho d

Ta có 9(2n + 1) = 18n + 9 = 2(9n + 4) + 1.

Mà 9n + 4 chia hết cho d nên 1 cũng chia hết cho d.

Do đó d = 1.

Vậy 2n + 1, 9n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.