Tìm đạo hàm của hàm số sau y = 5sinx – 3cosx

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) y = 5sinx – 3cosx ;

b) $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$;

c) y = xcotx ;

d) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$ ;

e) $y=\sqrt{1+2\tan x}$;

f) $y=\sin \sqrt{1+x^2}$.

Lời giải:

a) y = 5sinx – 3cosx

$\Rightarrow$ y′ = 5(sinx)′ – 3(cosx)′

= 5cosx – 3(–sinx)

= 5cosx + 3sinx

Vậy y′ = 5cosx + 3sinx.

b) $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{{\left(\sin x+\cos x\right)}^{\text{'}}\left(\sin x-\cos x\right)-\left(\sin x+\cos x\right){\left(\sin x-\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\cos x-\sin x\right)\left(\sin x-\cos x\right)-\left(\sin x+\cos x\right)\left(\cos x+\sin x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{2\sin x\cos x-1-1-2\sin x\cos x}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{-2}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{-2}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$.

c) y = xcotx

$\Rightarrow$ y′ = (x)′cotx + x(cotx)′$=\cot x+x\left(-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)=\cot x-\frac{x}{{\sin }^{2}x}$

Vậy $y^{\text{'}}=\cot x-\frac{x}{{\sin }^{2}x}$.

d) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{x}{\sin x}\right)}^{\text{'}}=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.x-\sin x.(x{)}^{\text{'}}}{x^2}+\frac{(x{)}^{\text{'}}.\sin x-x.(\sin x{)}^{\text{'}}}{{\sin }^{2}x}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}+\frac{\sin x-x\cos x}{{\sin }^{2}x}=(x\cos x-\sin x)\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)$

Vậy $y^{\text{'}}=(x\cos x-\sin x)\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)$.

e) $y=\sqrt{1+2\tan x}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{(1+2\tan x{)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{2(\tan x{)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{(\tan x{)}^{\text{'}}}{\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}}{\sqrt{1+2\tan x}}$

$=\frac{1}{{\cos }^{2}x.\sqrt{1+2\tan x}}$

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x.\sqrt{1+2\tan x}}$.

f) $y=\sin \sqrt{1+x^2}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=\cos \sqrt{1+x^2}\cdot {\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}=\cos \sqrt{1+x^2}.\frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}=\cos \sqrt{1+x^2}.\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cos \sqrt{1+x^2}$

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cos \sqrt{1+x^2}$.

*Phương pháp giải:

Nắm chắc bảng đạo hàm đã học

*Lý thuyết: