Anonymous

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x;

b) $y = \cos^{2} (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} + x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} + x) - 2 \sin^{2} x$ .

Lời giải:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x

Ta có:

y′ = (sin⁶x)′ + (cos⁶x)′ + (3sin²xcos²x)′

= 6sin⁵x(sinx)′ + 6cos⁵x(cosx)′ + 3.[(sin²x)′cos²x + sin²x(cos²x)′]

= 6sin⁵xcosx + 6cos⁵x(−sinx) +3[2sinxcosxcos²x + sin²x.2cosx(−sinx)]

= 6sin⁵xcosx − 6cos⁵xsinx + 6sinxcos³x − 6cosxsin³x

= (6sin⁵xcosx − 6cosxsin³x) + 6sinxcos³x − 6cos⁵xsinx

= 6sin³xcosx(sin²x − 1) + 6sinxcos³x(1 − cos²x)

= 6sin³xcosx.(−cos²x) + 6sinxcos³xsin²x

= −6sin³xcos³x + 6sin³xcos³x

= 0

$\Rightarrow$ y′ = 0, $\forall x$

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

Cách khác:

sin⁶x + cos⁶x = (sin²x)³ +(cos²x)³

= (sin²x + cos²x)³ − 3sin²xcos²x(sin²x + cos²x)

= 13 − 3sin²xcos²x.1

= 1 − 3sin²xcos²x

$\Rightarrow$ y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x = 1

$\Rightarrow$ y′ = (1)′ = 0

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

b) $y = \cos^{2} (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} + x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} + x) - 2 \sin^{2} x$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x) - 2 \cdot \frac{1 - \cos 2 x}{2} = 1 + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x) + \cos 2 x$

Do đó $y^{'} = \frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot - \sin (\frac{2 π}{3} - 2 x)] + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot - \sin (\frac{2 π}{3} + 2 x)]$

$+ \frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot - \sin (\frac{4 π}{3} - 2 x)] + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot - \sin (\frac{4 π}{3} + 2 x)] - 2 \sin 2 x = \sin (\frac{2 π}{3} - 2 x) - \sin (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \sin (\frac{4 π}{3} - 2 x) - \sin (\frac{4 π}{3} + 2 x) - 2 \sin 2 x = 2 \cos \frac{2 π}{3} \cdot \sin (- 2 x) + 2 \cos \frac{4 π}{3} \cdot \sin (- 2 x) - 2 \sin 2 x$

= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0

(Vì $\cos \frac{2 π}{3} = \cos = - \frac{1}{2}$ )

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Cách khác:

$y = 1 + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x)] + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x)] + \cos 2 x = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (π - 2 x) \cos \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (π + 2 x) \cos \frac{π}{3} + \cos 2 x = 1 - \cos 2 x \cdot \frac{1}{2} - \cos 2 x \cdot \frac{1}{2} + \cos 2 x = 1 - \cos 2 x + \cos 2 x = 1 \Rightarrow y = 1, \forall x \Rightarrow y^{'} = 0, \forall x$