Giải các bất phương trình sau y′ < 0 với

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 2 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) y′ < 0 với ;

b) $y^{\text{'}}\ge 0$với $y=\frac{x^2+3}{x+1}$;

c) y′ > 0 với $y=\frac{2x-1}{x^2+x+4}$.

Lời giải:

a) y′ < 0 với $y=\frac{x^2+x+2}{x-1}$

Ta có

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2+x+2\right)}^{\text{'}}(x-1)-\left(x^2+x+2\right)(x-1{)}^{\text{'}}}{{(x-1)}^2}=\frac{(2x+1)(x-1)-\left(x^2+x+2\right).1}{{(x-1)}^2}=\frac{2x^2+x-2x-1-x^2-x-2}{{(x-1)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}$

Do $y^{\text{'}}<0\iff \frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}<0$

$\iff \begin{array}{l}x\ne 1\\ x^2-2x-3<0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne 1\\ -1<x<3\end{array}\iff x\in (-1;1)\cup (1;3)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =$(-1;1)\cup (1;3)$.

b) $y^{\text{'}}\ge 0$với $y=\frac{x^2+3}{x+1}$

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2+3\right)}^{\text{'}}(x+1)-\left(x^2+3\right)(x+1{)}^{\text{'}}}{{(x+1)}^2}=\frac{2x(x+1)-\left(x^2+3\right).1}{{(x+1)}^2}=\frac{2x^2+2x-x^2-3}{{(x+1)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{{(x+1)}^2}$

Do $y^{\text{'}}\ge 0\iff \frac{x^2+2x-3}{{(x+1)}^2}\ge 0$

$\iff \begin{array}{l}x+1\ne 0\\ x^2+2x-3\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne -1\\ \begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -3\end{array}\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -3\end{array}\iff x\in \left(-\infty ;-3\right]\cup \left.1;+\infty \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = $\left(-\infty ;-3\right]\cup \left.1;+\infty \right)$.

c) y′ > 0 với $y=\frac{2x-1}{x^2+x+4}$

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{(2x-1{)}^{\text{'}}\left(x^2+x+4\right)-(2x-1){\left(x^2+x+4\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}=\frac{2\left(x^2+x+4\right)-(2x-1)(2x+1)}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}=\frac{2x^2+2x+8-4x^2+2x-2x+1}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}=\frac{-2x^2+2x+9}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}$

Do $y^{\text{'}}>0\iff \frac{-2x^2+2x+9}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}>0$

 $\iff -2x^2+2x+9>0$ (Vì $x^2+x+4={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}>0$)

$\iff \frac{1-\sqrt{19}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{19}}{2}\iff x\in \left(\frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2}\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =$\left(\frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2}\right)$ .