Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn

Giải Toán 9 Bài tập ôn cuối năm

Bài 15 trang 135 SGK Toán lớp 9 tập 2: Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh:

a) $B{D}^2=AD.CD$;

b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp;

c) BC song song với DE.

Lời giải:

a)

Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC

Góc CBD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BD và dây cung BC

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CBD}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BC}$

Xét tam giác ABD và tam giác BCD có:

Do đó, tam giác ABD và tam giác BCD đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow B{D}^2=AD.CD$

b)

Tam giác ABC cân tại A nên ta có: AB = AC $\Rightarrow \stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$

Góc $D_1$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn chắn cung AB và cung BC nên ta có:

$\widehat{E_1}=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{AC}-sd\stackrel{⏜}{BC}\right)$

Do đó, góc D và góc E cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau

Do đó, BCDE là tứ giác nội tiếp

c)

BCDE là tứ giác nội tiếp (cmt)

Mà góc BED và góc ABC là hai góc đồng vị, do đó, BC // DE.

*Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau.

+) Trong một tứ giác, hai góc có đỉnh liên tiếp cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một cặp góc bằng nhau thì là tứ giác nội tiếp.

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

-Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cunglà góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

2. Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cungbằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ 2.Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung AB như hình vẽ.

Khi đó,$\widehat{BAx}$và$\widehat{BAy}$là góc tạo bởi tiếp tiếp và dây cung lần lượt chắn$\widehat{AmB}$và$\widehat{AnB}$. Do đó,

3. Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Ví dụ 2.Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên,$\widehat{ACB}$là góc nội tiếp chắn$\stackrel{⏜}{AB}$nên

$\widehat{BAx}$là góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến chắn$\stackrel{⏜}{AB}$nên