Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC

Giải Toán 9 Bài tập ôn cuối năm

Bài 7 trang 134 SGK Toán lớp 9 tập 2:

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

b) Chứng minh BOD $\backsim$ OED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của $\widehat{BDE}$.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Lời giải:

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{D_1}=\widehat{EOC}$

Xét tam giác BOD và tam giác CEO có:

Do đó, tam giác BOD đồng dạng với tam giác CEO (góc – góc)

 $\Rightarrow \frac{BO}{CE}=\frac{BD}{CO}$$\Rightarrow BD.CE=BO.CO=\frac{B{C}^2}{4}$ (luôn không đổi)

b)

Ta có, tam giác BOD đồng dạng với tam giác CEO

Xét tam giác BOD và tam giác OED có:

Do đó, tam giác BOD và tam giác OED  đồng dạng (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow \widehat{BDO}=\widehat{ODE}$

Do đó, DO là tia phân giác của $\widehat{BDE}$

c)

Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R.

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB

Do đó, R = OK

O thuộc đường phân giác DO của $\widehat{BDE}$

$\Rightarrow OH=OK=R$

Mà DE vuông góc với OH tại H

Do đó, DE tiếp xúc với (O; R) (đcpcm)