Sách bài tập Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 6 trang 14

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 6 trang 14

CÂU HỎI (Trắc nghiệm)

Câu 1 trang 14 SBT Toán 8 Tập 2: Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số ?

A. 2x + 1.

B. $\sqrt{5}$

C. π.

D. $\sqrt{x}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Biểu thức không phải là phân thức đại số là $\sqrt{x}$.

Câu 2 trang 14 SBT Toán 8 Tập 2: Phân thức nào sau đây bằng phân thức: $\frac{16x^4-1}{12x^3-3x}$?

A. $\frac{4x^2-1}{3x}$.

B. $\frac{4x^2+1}{3x}$.

C. $\frac{4x^2-1}{4x-3}$.

D. $\frac{4x^2+1}{4-3x}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{16x^4-1}{12x^3-3x}=\frac{\left(4x^2-1\right)\left(4x^2+1\right)}{3x\left(4x^2-1\right)}=\frac{4x^2+1}{3x}$.

Câu 3 trang 14 SBT Toán 8 Tập 2: Đa thức nào sau đây không thể chọn làm mẫu thức chung của hai phân thức =$\frac{x}{3\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}$ và $\frac{x^3-x+1}{\left(x^2-4\right)\left(x^3+1\right)}$ ?

A. 3(x² – 1)(x² – 4)(x² – x + 1).

B. 3(x² – 1)(x² – 4)(x³ + 1).

C. 3(x² – 1)(x² – 4)(x² + x + 1).

D. 3(x⁴ – 1)(x⁶ – 1)(x⁶ – 64).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{x}{3\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x}{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{x^3-x+1}{\left(x^2-4\right)\left(x^3+1\right)}=\frac{x^3-x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

Do đó, mẫu thức chung là:

3(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)(x² – x + 1) = 3(x² – 1)(x² – 4)(x² – x + 1)

Do đó, không thể chọn mẫu thức chung là: 3(x² – 1)(x² – 4)(x² + x + 1).

Câu 4 trang 14 SBT Toán 8 Tập 2: Giá trị của phân thức $\frac{8x-4}{8x^3-1}$ tại x = –0,5 là:

A. 4.

B. –4.

C. 0,25.

D. –0,25.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = –0,5 vào phân thức $\frac{8x-4}{8x^3-1}$ ta được: $\frac{8.\left(-\mathrm{0,5}\right)-4}{8.{\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3-1}=\frac{-8}{-2}=4$

Câu 5 trang 14 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn biểu thức $\frac{x-1}{x^3+1}+\frac{1-2x}{x-1}-\frac{3x+2}{x^3+1}+\frac{1-x}{x^3+1}+\frac{3x}{x^3+1}+\frac{1-2x}{1-x}$, ta được kết quả là:

A. =$\frac{2}{x-1}$.

B.$\frac{-2}{x^3+1}$.

C. $\frac{2}{x^3+1}$

D. $\frac{2}{x+1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\frac{x-1}{x^3+1}+\frac{1-2x}{x-1}-\frac{3x+2}{x^3+1}+\frac{1-x}{x^3+1}+\frac{3x}{x^3+1}+\frac{1-2x}{1-x}$

= $\left(\frac{x-1}{x^3+1}-\frac{3x+2}{x^3+1}+\frac{1-x}{x^3+1}+\frac{3x}{x^3+1}\right)+\left(\frac{1-2x}{x-1}+\frac{1-2x}{1-x}\right)$

$=\left(\frac{x-1}{x^3+1}-\frac{3x+2}{x^3+1}+\frac{1-x}{x^3+1}+\frac{3x}{x^3+1}\right)+\left(\frac{1-2x}{x-1}-\frac{1-2x}{x-1}\right)$

$=\left(\frac{x-1-3x-2+1-x+3x}{x^3+1}\right)+\left(\frac{1-2x-1+2x}{x-1}\right)$

$=\frac{-2}{x^3+1}+0=\frac{-2}{x^3+1}$

BÀI TẬP

Bài tập 6.34 trang 14 SBT Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}$.

a) Viết điều kiện xác định của phân thức. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện xác định.

b) Rút gọn phân thức đã cho.

c) Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức P nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức là: x² – 9 ≠ 0 hay (x – 3)(x + 3) ≠ 0, suy ra x ≠ ±3.

Tập hợp tất cả các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện xác định là: {3; –3}.

b) Ta có:

$P=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}=\frac{x^2-3x-x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{\left(x^2-3x\right)-\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$=\frac{x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{x-1}{x+3}$.

c) Với điều kiện xác định x ≠ ±3, ta có:

$P=\frac{x-1}{x+3}=\frac{x+3-4}{x+3}=1-\frac{4}{x+3}$

Để P là số nguyên thì (x + 3) ∈ Ư(4) = {1; –1; 2; –2; 4; –4}.

Suy ra x ∈ {–2; –4; –1; –5; 1; –7}.

Vậy x ∈ {–2; –4; –1; –5; 1; –7} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài tập 6.35 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai phân thức: $P=\frac{1}{2x^2+7x-15}$ và $Q=\frac{1}{x^2+3x-10}$. Có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là M = 2x³ + 3x² – 29x + 30 được không ? Vì sao?

Lời giải:

Ta có:

$P=\frac{1}{2x^2+7x-15}=\frac{1}{2x^2+10x-3x-15}=\frac{1}{\left(2x^2+10x\right)-\left(3x+15\right)}$

$=\frac{1}{2x\left(x+5\right)-3\left(x+5\right)}=\frac{1}{\left(2x-3\right)\left(x+5\right)}$.

$\begin{array}{l}Q=\frac{1}{x^2+3x-10}=\frac{1}{x^2+5x-2x-10}=\frac{1}{\left(x^2+5x\right)-\left(2x+10\right)}\\ =\frac{1}{x\left(x+5\right)-2\left(x+5\right)}=\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+5\right)}\end{array}$

Do đó, mẫu thức chung là: (x – 2)(2x – 3)(x + 5) = 2x³ + 3x² – 29x + 30 = M.

Vì vậy, có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là M.

Bài tập 6.36 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn biểu thức $P=\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right).\left(\frac{2x}{y}+\frac{4x}{x-y}\right):\frac{1}{y}$ (y ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x).

Lời giải:

Với y ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x, ta có:

$P=\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right).\left(\frac{2x}{y}+\frac{4x}{x-y}\right):\frac{1}{y}$

$=\left.\frac{x\left(x+y\right)}{x+y}-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right].\left.\frac{2x\left(x-y\right)}{y\left(x-y\right)}+\frac{4xy}{y\left(x-y\right)}\right]:\frac{1}{y}$

$=\left.\frac{x\left(x+y\right)-x^2-y^2}{x+y}\right].\left.\frac{2x\left(x-y\right)+4xy}{y\left(x-y\right)}\right]:\frac{1}{y}$

$=\left.\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}\right].\left.\frac{2x^2-2xy+4xy}{y\left(x-y\right)}\right]:\frac{1}{y}$

$=\frac{xy-y^2}{x+y}.\frac{2x^2+2xy}{y\left(x-y\right)}.y$

$=\frac{y\left(x-y\right)}{x+y}.\frac{2x\left(x+y\right)}{y\left(x-y\right)}.y$ = 2xy.

Bài tập 6.37 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)\left(ay-ax\right)}$ (a ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x). Chứng minh rằng P có giá trị không phụ thuộc vào x, y.

Lời giải:

Với a ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x, ta có:

$P=\frac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)\left(ay-ax\right)}$$=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)a\left(y-x\right)}$

$=\frac{-\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{a\left(x+y\right)\left(x-y\right)}$$=\frac{-1}{a}$

Do đó, giá trị của P không phụ thuộc vào x, y mà chỉ phụ thuộc vào a.

Bài tập 6.38 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Biết x + y + z = 0 và x, y ≠ 0. Chứng minh phân thức $\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}$ có giá trị không đổi

Lời giải:

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, phân thức $\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}$trở thành:

$\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(-x-y\right)}^2}=\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(x+y\right)}^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-x^2-2xy-y^2}=\frac{xy}{-2xy}=\frac{-1}{2}$

Vậy phân thức $\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}$ có giá trị không đổi bằng $\frac{-1}{2}$

Bài tập 6.39 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho x + y + z = 0 và x, y, z ≠ 0. Rút gọn biểu thức sau:

$\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}+\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}+\frac{zx}{z^2+x^2-y^2}$

Lời giải:

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, ta có:

$\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}+\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}+\frac{zx}{z^2+x^2-y^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(-x-y\right)}^2}+\frac{y\left(-x-y\right)}{y^2+{\left(-x-y\right)}^2-x^2}+\frac{\left(-x-y\right)x}{{\left(-x-y\right)}^2+x^2-y^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(x+y\right)}^2}+\frac{-xy-y^2}{y^2+{\left(x+y\right)}^2-x^2}+\frac{-x^2-xy}{{\left(x+y\right)}^2+x^2-y^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-x^2-y^2-2xy}+\frac{-xy-y^2}{y^2+x^2+2xy+y^2-x^2}+\frac{-x^2-xy}{x^2+2xy+y^2+x^2-y^2}$

$=\frac{-1}{2}+\frac{-y\left(x+y\right)}{2y\left(y+x\right)}+\frac{-x\left(x+y\right)}{2x\left(x+y\right)}$

$=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}$$=\frac{-3}{2}$

Bài tập 6.40 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{4x^2+2x+3}{2x+1}$$\left(x\ne -\frac{1}{2}\right)$

a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức 4x² + 2x + 3 cho đa thức 2x + 1.

b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết P dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức và một hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức đã cho có giá trị cũng là số nguyên.

Lời giải:

a) Ta có:

Do đó, (4x² + 2x + 3) : (2x + 1) = 2x (dư 3) hay 4x² + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3.

b)Vì 4x² + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3 nên

$P=\frac{4x^2+2x+3}{2x+1}=\frac{2x\left(2x+1\right)+3}{2x+1}$$=2x+\frac{3}{2x+1}$

Vì x là số nguyên nên 2x là số nguyên.

Để P là số nguyên thì (2x + 1) ∈ Ư(3) = {1; –1; 3; –3}.

Mà x là số nguyên.

Suy ra x ∈ {0; –1; 1; –2}. Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $x\ne -\frac{1}{2}$.

Vậy x ∈ {0; –1; 1; –2}.

Bài tập 6.41 trang 15 SBT Toán Tập 2:

a) Rút gọn biểu thức P = $\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức P là x ≠ 0 và x ≠ – 2.

$P=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(\frac{x+2}{x+2}-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(\frac{x+2-x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\frac{-x^2+x+2}{x+2}-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{\left(x+2\right)\left(-x^2+x+2\right)}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{-x^3+x^2+2x-2x^2+2x+4}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{-x^3-x^2+4x+4}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{-x^3-x^2+4x+4-x^2-6x-4}{x}$

$=\frac{-x^3-2x^2-2x}{x}$

$=-x^2-2x-2$

b) P = –x² – 2x – 2 = –(x² + 2x + 2) = – (x² + 2x + 1 + 1) = – (x + 1)² – 1.

Vì – (x + 1)² ≤ 0 với mọi số thực x.

Suy ra – (x + 1)² – 1 ≤ – 1 với mọi số thực x.

Hay P ≤ – 1 với mọi số thực x.

Vậy giá trị lớn nhất của P là P = –1.

Dấu “=” xảy ra khi x + 1 = 0 hay x = –1 (thỏa mãn điều kiện xác định của P).

Vậy giá trị lớn nhất của P là – 1 (đạt được tại x = –1).

Bài tập 6.42 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho phân thức$P=\frac{x^2-4x+12}{x^2-4x+10}$. Đặt t = x – 2, hãy biểu diễn P dưới dạng một phân thức của biến t. Từ đó suy ra P luôn nhận giá trị dương.

Lời giải:

Ta có $P=\frac{x^2-4x+12}{x^2-4x+10}=\frac{x^2-4x+4+8}{x^2-4x+4+6}=\frac{{\left(x-2\right)}^2+8}{{\left(x-2\right)}^2+6}$

Đặt t = x – 2 ta được: $P=\frac{t^2+8}{t^2+6}$.

Vì t² ≥ 0 với mọi số thực t.

Suy ra t² + 8 > 0 và t² + 6 > 0 với mọi số thực t.

Do đó, $P=\frac{t^2+8}{t^2+6}$ > 0 với mọi số thực t.

Bài tập 6.43 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Một bể chứa nước có hai vòi thoát. Biết rằng khi bể chứa đầy nước thì thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là x (giờ) và thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là y (giờ).

a) Viết phân thức biểu thị thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi.

b) Tính thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi, biết rằng khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ.

Lời giải:

a) Gọi t (giờ) là thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) khi mở cả hai vòi.

Như vậy, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được $\frac{1}{t}$(bể)

Mặt khác, từ giả thiết suy ra trong một giờ, một mình vòi thứ nhất xả hết $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$ (bể), một mình vòi thứ hai xả được$\frac{1}{y}$(bể).

Do đó, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$ (bể).

Từ đó suy ra: $\frac{1}{t}=\frac{x+y}{xy}$. Do đó $t=\frac{xy}{x+y}$.

b) Với x = 2, y = 3 thì $t=\frac{2.3}{2+3}=\mathrm{1,2}$ giờ = 1 giờ 12 phút.

Do đó, trong trường hợp khi mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ, khi mở cả hai vòi sẽ xả được hết nước trong bể sau 1 giờ 12 phút.