Cho phân thức P= (4x^2+2x+3)/(2x+1) (x khác 1/2) a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 6 trang 14

Bài tập 6.40 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{4x^2+2x+3}{2x+1}$$\left(x\ne -\frac{1}{2}\right)$

a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức 4x² + 2x + 3 cho đa thức 2x + 1.

b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết P dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức và một hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức đã cho có giá trị cũng là số nguyên.

Lời giải:

a) Ta có:

Do đó, (4x² + 2x + 3) : (2x + 1) = 2x (dư 3) hay 4x² + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3.

b)Vì 4x² + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3 nên

$P=\frac{4x^2+2x+3}{2x+1}=\frac{2x\left(2x+1\right)+3}{2x+1}$$=2x+\frac{3}{2x+1}$

Vì x là số nguyên nên 2x là số nguyên.

Để P là số nguyên thì (2x + 1) ∈ Ư(3) = {1; –1; 3; –3}.

Mà x là số nguyên.

Suy ra x ∈ {0; –1; 1; –2}. Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $x\ne -\frac{1}{2}$.

Vậy x ∈ {0; –1; 1; –2}.