Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Bài 2.1 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1:Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) a²– b²= (a – b)(a + b);

b) 3x(2x – 1) = 6x²+ 3x;

c) 2(x – 1) = 4x + 3;

d) (2y + 3)(y + 1) = 2y²+ 5y + 3.

Lời giải:

a) Ta có: (a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b)

= a²+ ab – ab – b²= a²– b².

Vậy đẳng thức a²– b²= (a – b)(a + b) là hằng đẳng thức.

b) Xét đẳng thức 3x(2x – 1) = 6x²+ 3x

Khi thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức ta thấy VT = 3 và VP = 9, do đó hai vế không bằng nhau.

Vậy đẳng thức 3x(2x – 1) = 6x²+ 3x không phải là hằng đẳng thức.

c) Xét đẳng thức 2(x – 1) = 4x + 3

Khi thay x = 0 vào hai vế của đẳng thức ta thấy VT = –2 và VP = 3, do đó hai vế không bằng nhau.

Vậy đẳng thức 2(x – 1) = 4x + 3 không phải là hằng đẳng thức.

d) Ta có: (2y + 3)(y + 1) = 2y(y + 1) + 3(y + 1)

= 2y²+ 2y + 3y + 3 = 2y²+ 5y + 3.

Vậy đẳng thức (2y + 3)(y + 1) = 2y²+ 5y + 3 là hằng đẳng thức.

Bài 2.2 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1:Khai triển:

a) (3x + 1)²;

b) (2y + 3x)²;

c) (2x – 3)²;

d) (3y – x)².

Lời giải:

a) (3x + 1)²= (3x)²+ 2.3x.1 + 1²= 9x²+ 6x +1.

b) (2y + 3x)²= (2y)²+ 2.2y.3x + (3x)²= 4y²+ 12xy + 9x².

c) (2x – 3)²= (2x)²‒ 2.2x.3 + 3²= 4x²– 12x + 9.

d) (3y – x)²= (3y)²‒ 2.3y.x + x²=9y²– 6xy + x².

Bài 2.3 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1:Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 4x²+ 12x + 9;

b) 16x²– 8xy + y²;

c) 81x²y²– 16z².

Lời giải:

a) 4x²+ 12x + 9 = (2x)²+ 2.(2x).3 + 3²= (2x + 3)²

b) 16x²– 8xy + y²= (4x)²– 2.(4x).y + y² = (4x – y)².

c) 81x²y²– 16z²= (9xy)²– (4z)²= (9xy – 4z)(9xy + 4z).

Bài 2.4 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1:Tính nhanh:

a) 997 . 1003;

b) 1004².

Lời giải:

a) 997 . 1003

= (1000 – 3)(1000 + 3)

= 1000²– 3²

= 1 000 000 – 9

= 999 991.

b) 1004²

= (1000 + 4)²

= 1 000²+ 2.1000.4 + 4²

= 1 000 000 + 8 000 + 16

= 1 008 016.

Bài 2.5 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1:Rút gọn biểu thức:

a) 2(x – y)(x + y) + (x + y)²+ (x – y)²;

b) (x – y – z)²– (x – y)²+ 2(x − y)z.

Lời giải:

a) 2(x – y)(x + y) + (x + y)²+ (x – y)²

= 2(x²‒ y²) + x²+ 2xy + y²+ x²‒ 2xy + y²

= 2x²‒ 2y²+ x²+ 2xy + y²+ x²‒ 2xy + y²

= (2x²+ x²+ x²) + (‒2y²+ y²+ y²) + (2xy ‒ 2xy)

= 4x².

b) (x – y – z)²– (x – y)²+ 2(x − y)z

= [(x – y) – z]²– (x – y)²+ 2(x − y)z

= (x – y)²– 2(x – y)z + z²– (x – y)²+ 2(x – y)z

= [(x – y)²– (x – y)²] + [–2(x − y)z + 2(x − y)z] + z²

= z².

Bài 2.6 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1: a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng a²chia 3 dư 1.

b) Biết số tự nhiên a chia 5 dư 3. Chứng minh rằng a²chia 5 dư 4.

Lời giải:

a) Vì a chia 3 dư 2 nên ta có thể viết a = 3n + 2, n ∈ ℕ. Ta có

a²= (3n + 2)²

= 9n²+ 2.3n.2 + 4

= 9n²+ 12n + 3 + 1

= 3(3n²+ 4n + 1) + 1

Vì 3(3n²+ 4n + 1) ⋮ 3 nên 3(3n²+ 4n + 1) + 1 chia 3 dư 1.

Do đó a²chia 3 dư 1.

b) Vì a chia 5 dư 3 nên ta có thể viết a = 5n + 3, n ∈ ℕ. Ta có

a²= (5n + 3)²

= 25n²+ 2.5n.3 + 9

= 25n²+ 30n + 5 + 4

= 5(5n²+ 6n + 1) + 4

Vì 5(5n²+ 6n + 1) ⋮ 5 nên 5(5n²+ 6n + 1) + 4 chia 5 dư 4.

Do đó a²chia 5 dư 4.

Bài 2.7 trang 21 SBT Toán 8 Tập 1:Cho hai số a, b > 0 sao cho a > b, a²+ b²= 8 và ab = 2.

Hãy tính giá trị của:

a) a + b;

b) a – b.

Lời giải:

a) Ta có (a + b)²= a²+ b²+ 2ab

Thay a²+ b²= 8 và ab = 2 ta có:

(a + b)²= 8 + 4 = 12 nên hoặc .

Vì a, b > 0 nên a + b > 0. Do đó .

b) Ta có (a ‒ b)²= a²+ b²‒ 2ab

Thay a²+ b²= 8 và ab = 2 ta có:

(a ‒ b)²= 8 ‒ 4 = 4 nên a ‒ b = 2 hoặc a ‒ b = ‒2.

Vì a, b > 0 nên a ‒ b > 0. Do đó a – b = 2.