Biết x + y + z = 0 và x, y khác 0. Chứng minh phân thức xy/x^2+y^2-z^2 có giá trị không đổi

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 6 trang 14

Bài tập 6.38 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Biết x + y + z = 0 và x, y ≠ 0. Chứng minh phân thức $\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}$ có giá trị không đổi

Lời giải:

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, phân thức $\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}$trở thành:

$\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(-x-y\right)}^2}=\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(x+y\right)}^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-x^2-2xy-y^2}=\frac{xy}{-2xy}=\frac{-1}{2}$

Vậy phân thức $\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}$ có giá trị không đổi bằng $\frac{-1}{2}$