Cho x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Rút gọn biểu thức sau xy/x^2+y^2-z^2 + yz/y^2+z^2-x^2 + zx/z^2+x^2-y^2

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 6 trang 14

Bài tập 6.39 trang 15 SBT Toán 8 Tập 2: Cho x + y + z = 0 và x, y, z ≠ 0. Rút gọn biểu thức sau:

$\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}+\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}+\frac{zx}{z^2+x^2-y^2}$

Lời giải:

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, ta có:

$\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}+\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}+\frac{zx}{z^2+x^2-y^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(-x-y\right)}^2}+\frac{y\left(-x-y\right)}{y^2+{\left(-x-y\right)}^2-x^2}+\frac{\left(-x-y\right)x}{{\left(-x-y\right)}^2+x^2-y^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-{\left(x+y\right)}^2}+\frac{-xy-y^2}{y^2+{\left(x+y\right)}^2-x^2}+\frac{-x^2-xy}{{\left(x+y\right)}^2+x^2-y^2}$

$=\frac{xy}{x^2+y^2-x^2-y^2-2xy}+\frac{-xy-y^2}{y^2+x^2+2xy+y^2-x^2}+\frac{-x^2-xy}{x^2+2xy+y^2+x^2-y^2}$

$=\frac{-1}{2}+\frac{-y\left(x+y\right)}{2y\left(y+x\right)}+\frac{-x\left(x+y\right)}{2x\left(x+y\right)}$

$=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}$$=\frac{-3}{2}$