ó hai bến xe khách P và Q. Một người đi xe đạp từ P đến Q

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 2 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2:Có hai bến xe khách P và Q. Một người đi xe đạp từ P đến Q với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ 15 phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ 10 phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ x phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian xlà bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?Lời giải:

Gọi vận tốc người đi xe đạp là y (km/phút), vận tốc xe khách là z (km/phút)

Điều kiện: z > y > 0

- Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với người đi xe đạp.

Giả sử khi xe khách thứ nhất vượt người đi xe đạp tại điểm B thì xe khách thứ hai ở điểm Anhư hình vẽ.

Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên quãng đường AB là quãng đường mà xe khách phải đi trong x phút và AB = xz (km).

Gọi điểm mà xe khách thứ hai vượt người đi xe đạp là C thì quãng đường BC là quãng đường người đi xe đạp đi trong 15 phút nên BC = 15y (km). Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi trong 15 phút nên AC=15z (km).

Ta có phương trình: xz + 15y = 15z

- Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với người đi xe đạp

Giải sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất đi ngược chiều tại điểm D thì xe khách thứ hai đi ngược chiều đang ở vị trí điểm E như hình vẽ:

Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên DE = x.z (km). Sau đó 10 phút, người đi xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm F. Khi đó, quãng đường DF là quãng đường người đi xe đạp trong 10 phút nên DF = 10y (km). Quãng đường EF là quãng đường xe khách đi trong 10 phút nên EF = 10z (km)

Ta có hệ phương trình: 10y + 10z = xz

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}xz+15y=15z\\ 10y+10z=xz\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}xz+15y=15z\\ xz-10y=10z\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x+15.\frac{y}{z}=15\\ x-10.\frac{y}{z}=10\end{array}$

Đặt $\frac{y}{z}=t\left(t>0\right)$

Khi đó hệ phương trình trở thành:$\begin{array}{l}x+15t=15\\ x-10t=10\end{array}\iff \begin{array}{l}25t=5\\ x-10t=10\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}t=\frac{1}{5}\\ x-10t=10\end{array}$(thỏa mãn)

$\iff \begin{array}{l}t=\frac{1}{5}\\ x-10.\frac{1}{5}=10\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}x=12\\ \frac{y}{z}=\frac{1}{5}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x=12\\ 5y=z\end{array}$

Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vận tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của người đi xe đạp.