Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 50 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG=AD+\frac{3}{2}EB$. Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng $100+4\sqrt{13}\left(cm\right)$.

Lời giải:

Theo giải thuyết ta có: EB = 2x (cm)

Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x (cm)

AG = AD +DG = y +$\frac{3}{2}EB=y+\frac{3}{2}.2x=y+3x\left(cm\right)$

Diện tích hình chữ nhật GAEF bằng diện tích hình vuông ABCD nên ta có phương trình:

$\left(y-2x\right)\left(y+3x\right)=y^2$

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

FC =$\sqrt{E{B}^2+D{G}^2}=\sqrt{4x^2+9x^2}=x\sqrt{13}\left(cm\right)$

Chu vi ngũ giác ABCFG bằng:

AB + BC + CF + FG + GA = y + y + x$\sqrt{13}$+ y – 2x + 3x + y

=$\left(1+\sqrt{3}\right)x+4y$

Chu vi ngũ giác ABCFG bằng 100 + 4$\sqrt{3}$(cm) nên ta có phương trình:

$\left(1+\sqrt{3}\right)x+4y$= 100 + 4$\sqrt{3}$

Ta có hệ phương trình:$\begin{array}{l}\left(y-2x\right)\left(y+3x\right)=y^2\\ x\left(1+\sqrt{13}\right)+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}$

 $\iff \begin{array}{l}{y}^2+3xy-2xy-6x^2=y^2\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}xy-6x^2=0\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\left(y-6x\right)=0\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y-6x=0\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=6x\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4y=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=6x\\ \left(1+\sqrt{13}\right)x+4.6x=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=6x\\ \left(25+\sqrt{13}\right)x=100+4\sqrt{13}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{100+4\sqrt{13}}{25+\sqrt{13}}\\ y=6x\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=4\\ y=4.6=24\end{array}$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).