Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón

Giải Toán 12 Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12

Bài 14 trang 53 SGK  Toán lớp 12 Hình học:

A) $\frac{1}{2}\pi a^2\sqrt{3}$;

B) $\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{2}$;

C) $\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}$;

D) $\pi a^2\sqrt{3}$.

Lời giải:

Gọi tứ diện đều là ABCD. Có đỉnh A trùng với đỉnh nón; ba đỉnh B; C; D nằm trên đường tròn đáy của hình nón

Gọi O là tâm của tam giác  BCD.

Suy ra: bán kính của hình nón là OB, đường sinh l = AB = a.

Gọi H là trung điểm của CD.

Ta có: $BH=BD.\sin \widehat{BDC}=a.\sin {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì O là tâm tam giác đều ABC nên

$r=OB=\frac{2}{3}BH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{xq}=\pi rl=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.a=\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{3}$.

Chọn đáp án C.