Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A

Giải Toán 12 Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12

Bài 3 trang 51 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

A) $\frac{2(a+\text{}b+\text{}c)}{3}$;

B) $2\sqrt{a^2+\text{}{b}^2+\text{}{c}^2}$;

C)$\frac{1}{2}\sqrt{a^2+\text{}{b}^2+\text{}{c}^2}$;

D) $\sqrt{a^2+\text{}{b}^2+\text{}{c}^2}.$

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Suy ra: MA = MB = MC = $\frac{BC}{2}$.

 Suy ra, M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vẽ $Mx\perp mp\left(ABC\right)$ ta có:

Mx // SA và Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mp(SA; Mx); đường trung trực của SA cắt Mx tại I, ta có:

IS = IA

Mà IA = IB = IC (vì Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I thuộc Mx).

Suy ra: IS = IA = IB = IC

Suy ra, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC và bán kính mặt cầu là:

$R=IA=\sqrt{A{M}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}M{I}^2}$

Mà $AM=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}A{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+\text{}{c}^2}$

$MI=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$

Vậy $R=\sqrt{\frac{b^2+\text{}{c}^2}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+\text{}{b}^2+c^2}$.

Chọn đáp án C.