Bài tập 6 trang 63 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải SGK Toán10Chân trời sáng tạoBài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập 6. trang 63 Toán lớp 10 Tập 2

a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b) Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 8,4 : 2 = 4,2 là:

x² + y² = 17,64.

Vậy phương trình mô phỏng cái cổng là: x² + y² = 17,64 (y ≥ 0)

b) Chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m tương ứng với x = 2,2 và chiều cao của cổng tại x = 2,2 phải lớn hơn 2,6 thì xe tải mới đi qua được.

Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được 2,2² + y² = 17,64

⇒y² = 17,64 – 2,2² = 12,8

Vì y > 0 nên y = $\sqrt{\mathrm{12,8}}$≈ 3,6 > 2,6.

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.

*Phương pháp giải:

a) Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ vào đường

Bước 2: Viết phương trình đường tròn với điều kiện ràng buộc

b) Bước 1: Xác định khoảng cách điểm xa nhất tới tâm đường tròn

Bước 2: So sánh kết quả vừa tìm được với bán kinh

+) Nếu nhỏ hơn hoặc bán kính thì có thể đi qua và không làm hỏng cổng

+) Ngược lại, nếu lớn hơn bánh kình thì không thể đi qua cổng

*Lý thuyết:

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R. Ta có phương trình đường tròn:${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

- Nhận xét:

+ Phương trình đường tròn${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$có thể được viết dưới dạng$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$trong đó$c=a^2+b^2-R^2$

+ Ngược lại, phương trình$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$là phương trình đường tròn khi và chỉ khi$a^2+b^2-c>0$. Khi đó đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính$R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M$(x_0;y_0)$nằm trên đường tròn (C) tâm I (a; b) và bán kính R. Gọi đường thẳng$\Delta$là tiếp tuyến với (C) tại M. Phương trình của đường tiếp tuyến$\Delta$là:$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$