Hàm số nào có đạo hàm là 1/cosx

Giải Toán 12 Bài 7: Ôn tập chương 2

Bài 5 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích:

$f\left(x\right)=\ln \frac{1}{\sin x}$,

$g\left(x\right)=\ln \frac{1+\sin x}{\cos x}$,

$h\left(x\right)=\ln \frac{1}{\cos x}$,

hàm số nào có đạo hàm là $\frac{1}{\cos x}$?

A. f(x);

B. g(x);

C. h(x);

D. g(x) và h(x);

Đáp án đúng là B

Lời giải:

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\ln \frac{1}{\sin x}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{\sin x}\right)}^{\text{'}}.\frac{1}{\frac{1}{\sin x}}$

Lại có:

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\ln \frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}.\frac{\cos x}{1+\sin x}$

Có:

${\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(1+\sin x\right)}^{\text{'}}\cos x-{\left(\cos x\right)}^{\text{'}}\left(1+\sin x\right)}{{\cos }^{2}x}=\frac{\cos x.\cos x+\sin x.\left(1+\sin x\right)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1+\sin x}{{\cos }^{2}x}$

Khi đó:

$g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1+\sin x}{{\cos }^{2}x}.\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{1}{\cos x}$

Mặt khác:

$h^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\ln \frac{1}{\cos x}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{\cos x}\right)}^{\text{'}}.\frac{1}{\frac{1}{\cos x}}=\frac{-{\left(\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}.\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\ne \frac{1}{\cos x}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức đạo hàm hàm mũ

*Lý thuyết: