Anonymous

Giải các bất phương trình

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 12 Bài 7: Ôn tập chương 2

Bài 8 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $2^{2 x - 1} + 2^{2 x - 2} + 2^{2 x - 3} \geq 448$ ;

b) ${(0, 4)}^{x} - {(2, 5)}^{x + 1} > 1, 5$ ;

c) $\log_{3} \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)] < 1$ ;

d) $\log_{0, 2}^{2} x - 5 \log_{0, 2} x < - 6$ .

Lời giải:

a) $2^{2 x - 1} + 2^{2 x - 2} + 2^{2 x - 3} \geq 448$

$\Leftrightarrow 2^{2 x - 3} {.2}^{2} + 2^{2 x - 3} .2 + 2^{2 x - 3} \geq 448 \Leftrightarrow (4 + 2 + 1) 2^{2 x - 3} \geq 448 \Leftrightarrow {7.2}^{2 x - 3} \geq 448 \Leftrightarrow 2^{2 x - 3} \geq 64 \Leftrightarrow 2^{2 x - 3} \geq 2^{6} \Leftrightarrow 2 x - 3 \geq 6 (d o 2 > 1) \Leftrightarrow x \geq \frac{9}{2}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

S = $\frac{9}{2}; + \infty)$ .

b) ${(0, 4)}^{x} - {(2, 5)}^{x + 1} > 1, 5$

$\Leftrightarrow {(\frac{2}{5})}^{x} - {(\frac{5}{2})}^{x + 1} > 1, 5 \Leftrightarrow {(\frac{2}{5})}^{x} - \frac{5}{2} . {(\frac{5}{2})}^{x} > 1, 5$

Đặt $t = {(\frac{2}{5})}^{x} > 0$ ,

suy ra ${(\frac{5}{2})}^{x} = \frac{1}{t}$

Khi đó bất phương trình trở thành:

$t - \frac{5}{2} . \frac{1}{t} > 1, 5$

$\Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 - 3 t > 0 \Leftrightarrow \begin{array}{l} t < - 1 (k t m) \\ t > \frac{5}{2} (t m) \end{array}$

Với $t > \frac{5}{2}$ thì ${(\frac{2}{5})}^{x} > \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x < \log_{\frac{2}{5}} (\frac{5}{2})$ (do $0 < \frac{2}{5} < 1$ )

$\Leftrightarrow x < - 1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (-∞; -1).

c) $\log_{3} \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)] < 1$

ĐKXĐ:

$\begin{array}{l} x^{2} - 1 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1) > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 1 \end{array} \\ x^{2} - 1 < {(\frac{1}{2})}^{0} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 1 \end{array} \\ x^{2} - 1 < 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 1 \end{array} \\ - \sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow x \in (- \sqrt{2}; - 1) \cup (1; \sqrt{2})$

Khi đó: $\log_{3} \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)] < 1$

$\Leftrightarrow 0 < \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1) < 3^{1}$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{3} < x^{2} - 1 < {(\frac{1}{2})}^{0} (d o 0 < \frac{1}{2} < 1) \Leftrightarrow \frac{1}{8} < x^{2} - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{9}{8} < x^{2} < 2 \Leftrightarrow \begin{array}{l} x^{2} > \frac{9}{8} \\ x^{2} < 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} x < \frac{- 3 \sqrt{2}}{4} \\ x > \frac{3 \sqrt{2}}{4} \end{array} \\ - \sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow x \in (- \sqrt{2}; \frac{- 3 \sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3 \sqrt{2}}{4}; \sqrt{2})$

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = $(- \sqrt{2}; \frac{- 3 \sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3 \sqrt{2}}{4}; \sqrt{2})$ .

d) $\log_{0, 2}^{2} x - 5 \log_{0, 2} x < - 6$

ĐKXĐ: x > 0

$\log_{0, 2}^{2} x - 5 \log_{0, 2} x < - 6$

Đặt , khi đó bất phương trình trở thành:

t² – 5t + 6 < 0

$\Leftrightarrow 2 < t < 3 \Leftrightarrow 2 < \log_{0, 2} x < 3 \Leftrightarrow {(0, 2)}^{3} < x < {(0, 2)}^{2} (d o 0 < 0, 2 < 1) \Leftrightarrow \frac{1}{125} < x < \frac{1}{25}$