Giải các bất phương trình

Giải Toán 12 Bài 7: Ôn tập chương 2

Bài 8 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge 448$;

b) ${\left(0,4\right)}^x-{\left(2,5\right)}^{x+1}>1,5$;

c) ${\log }_3\left.{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)\right]<1$;

d) ${\log }_{0,2}^{2}x-5{\log }_{0,2}x<-6$.

Lời giải:

a) $2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge 448$

$\iff 2^{2x-3}{.2}^2+2^{2x-3}.2+2^{2x-3}\ge 448\iff \left(4+2+1\right)2^{2x-3}\ge 448\iff {7.2}^{2x-3}\ge 448\iff 2^{2x-3}\ge 64\iff 2^{2x-3}\ge 2^6\iff 2x-3\ge 6(do2>1)\iff x\ge \frac{9}{2}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

S = $\left.\frac{9}{2};+\infty \right)$.

b) ${\left(0,4\right)}^x-{\left(2,5\right)}^{x+1}>1,5$

$\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-{\left(\frac{5}{2}\right)}^{x+1}>1,5\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-\frac{5}{2}.{\left(\frac{5}{2}\right)}^x>1,5$

Đặt $t={\left(\frac{2}{5}\right)}^x>0$,

suy ra ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x=\frac{1}{t}$

Khi đó bất phương trình trở thành: 

$t-\frac{5}{2}.\frac{1}{t}>1,5$

$\iff 2t^2-5-3t>0\iff \begin{array}{l}t<-1\left(ktm\right)\\ t>\frac{5}{2}\left(tm\right)\end{array}$

Với $t>\frac{5}{2}$ thì ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x>\frac{5}{2}$    

$\iff x<{\log }_{\frac{2}{5}}\left(\frac{5}{2}\right)$ (do $0<\frac{2}{5}<1$)

$\iff x<-1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (-∞; -1).

c) ${\log }_3\left.{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)\right]<1$   

ĐKXĐ:

$\begin{array}{l}{x}^2-1>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)>0\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}x<-1\\ x>1\end{array}\\ x^2-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}x<-1\\ x>1\end{array}\\ x^2-1<1\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}x<-1\\ x>1\end{array}\\ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\end{array}\iff x\in \left(-\sqrt{2};-1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right)$

Khi đó: ${\log }_3\left.{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)\right]<1$

 $\iff 0<{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<3^1$          

$\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^3<x^2-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0\left(do0<\frac{1}{2}<1\right)\iff \frac{1}{8}<x^2-1<1\iff \frac{9}{8}<x^2<2\iff \begin{array}{l}{x}^2>\frac{9}{8}\\ x^2<2\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}x<\frac{-3\sqrt{2}}{4}\\ x>\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{array}\\ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\end{array}\iff x\in \left(-\sqrt{2};\frac{-3\sqrt{2}}{4}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{2}}{4};\sqrt{2}\right)$

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = $\left(-\sqrt{2};\frac{-3\sqrt{2}}{4}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{2}}{4};\sqrt{2}\right)$.

d) ${\log }_{0,2}^{2}x-5{\log }_{0,2}x<-6$

ĐKXĐ: x > 0

${\log }_{0,2}^{2}x-5{\log }_{0,2}x<-6$

Đặt , khi đó bất phương trình trở thành:

t² – 5t + 6 < 0

$\iff 2<t<3\iff 2<{\log }_{0,2}x<3\iff {\left(0,2\right)}^3<x<{\left(0,2\right)}^2(do0<0,2<1)\iff \frac{1}{125}<x<\frac{1}{25}$

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = $\left(\frac{1}{125};\frac{1}{25}\right)$.