Giải các phương trình

Giải Toán 12 Bài 7: Ôn tập chương 2

Bài 7 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $3^{x+4}+{3.5}^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$;

b) ${25}^x-{6.5}^x+5=0$;

c) ${4.9}^x+{12}^x-{3.16}^x=0$;

d) ${\log }_7\left(x-1\right){\log }_{7}x={\log }_{7}x$;

e) ${\log }_{3}x+{\log }_{\sqrt{3}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}x=6$;

g) $\log \frac{x+8}{x-1}=\log x$.

Lời giải:

a) $3^{x+4}+{3.5}^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$

$\iff 3^{x+3}.3-3^{x+3}=5^{x+3}.5-{3.5}^{x+3}\iff {2.3}^{x+3}={2.5}^{x+3}\iff 3^{x+3}=5^{x+3}\iff \frac{3^{x+3}}{5^{x+3}}=1\left(do{5}^{x+3}>0\right)\iff {\left(\frac{3}{5}\right)}^{x+3}={\left(\frac{3}{5}\right)}^0\iff x+3=0\iff x=-3$

Vậy phương trình có nghiệm là x = - 3.

b) ${25}^x-{6.5}^x+5=0$

$\iff {\left(5^2\right)}^x-{6.5}^x+5=0\iff {\left(5^x\right)}^2-{6.5}^x+5=0(*)$

Đặt t = 5^x (t > 0)

Khi đó: (*) $t^2-6t+5=0$

$\iff \begin{array}{l}t=5\left(tm\right)\\ t=1\left(tm\right)\end{array}$

Với t = 5  thì 5^x = 5  = 5¹ nên x = 1

Với t = 1 thì 5^x = 1 = 5⁰ nên x = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = {0; 1}.

c) ${4.9}^x+{12}^x-{3.16}^x=0$

$\iff 4.\frac{9^x}{{16}^x}+\frac{{12}^x}{{16}^x}-3.\frac{{16}^x}{{16}^x}=0$ (do 16^x > 0)

$\iff 4.{\left(\frac{9}{16}\right)}^x+{\left(\frac{12}{16}\right)}^x-3=0$

$\iff 4.{\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^2\right)}^x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x-3=0\iff 4.{\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^x\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x-3=0(*)$

Đặt ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=t\left(t>0\right)$

Khi đó: (*) $\iff$ 4t² + t – 3 = 0

$\iff \begin{array}{l}t=\frac{3}{4}\left(tm\right)\\ t=-1\left(ktm\right)\end{array}$

Với t $=\frac{3}{4}$ thì

${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=\frac{3}{4}={\left(\frac{3}{4}\right)}^1\Rightarrow$x = 1

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

d)  ${\log }_7\left(x-1\right){\log }_{7}x={\log }_{7}x$  (1)

ĐKXĐ: $\begin{array}{l}x-1>0\\ x>0\end{array}\iff x>1$

Khi đó: (1)

$\iff {\log }_7\left(x-1\right){\log }_{7}x-{\log }_{7}x=0\iff {\log }_{7}x\left({\log }_7\left(x-1\right)-1\right)=0\iff \begin{array}{l}{\log }_{7}x=0\\ {\log }_7\left(x-1\right)-1=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=7^0\\ {\log }_7\left(x-1\right)=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\\ x-1=7^1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\left(ktm\right)\\ x=8\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 8.

e) ${\log }_{3}x+{\log }_{\sqrt{3}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}x=6$   (2)

ĐKXĐ: x > 0

Khi đó: (2)

$\iff {\log }_{3}x+{\log }_{3^{\frac{1}{2}}}x+{\log }_{3^{-1}}x=6\iff {\log }_{3}x+2{\log }_{3}x-{\log }_{3}x=6\iff 2{\log }_{3}x=6\iff {\log }_{3}x=3\iff x=3^3\iff x=27(t/m)$

Vậy phương trình có nghiệm x = 27.

g) $\log \frac{x+8}{x-1}=\log x$   (3)

ĐKXĐ:

$\begin{array}{l}x>0\\ \frac{x+8}{x-1}>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>0\\ \left(x+8\right)\left(x-1\right)>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>0\\ \begin{array}{l}x<-8\\ x>1\end{array}\end{array}\iff x>1$

Khi đó: (3)$\iff \frac{x+8}{x-1}=x$

$\iff$x + 8 = (x – 1)x  (do x > 1)

$\iff$x + 8 = x² – x

$\iff$x² – 2x – 8 = 0

$\iff \begin{array}{l}x=4\left(tm\right)\\ x=-2\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.