Giải Toán lớp 6 Bài 12 (Kết nối tri thức): Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Giải Toán lớp 6 Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Video giải Toán lớp 6 Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất - Kết nối tri thức

Giải Toán lớp 6trang 49Tập 1

Toán lớp 6 trang 49 Hoạt động 1: Tìm các tập hợp B(6), B(9).

Lời giải:

+) Nhân lần lượt 6 với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;… ta được: 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54;…

+) Nhân lần lượt 9 với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;… ta được: 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, …

Toán lớp 6 trang 49 Hoạt động 2: Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập BC(6, 9).

Lời giải:

Ta có:

Các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9 là: 0; 18; 36; 54; ….

Toán lớp 6 trang 49 Hoạt động 3: Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6; 9).

Lời giải:

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6; 9) là 18.

Giải Toán lớp 6trang 50Tập 1

Toán lớp 6 trang 50 Câu hỏi 1:Tìm BCNN(36, 9).

Lời giải:

Vì $36⋮9$ nên BCNN(36, 9) = 36.

Toán lớp 6 trang 50 Luyện tập 1: Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 6 và 8;

b) 8; 9; 72.

Lời giải:

a) Ta có:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48…}

B(8) = {0; 16; 24; 32; 40; 48; 56;…}

Các số 0; 24; 48; … vừa là bội của 6, vừa là bội của 8 nên

BC(6,8) = {0; 24; 48;…}.

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 6 và 8 là 24 nên

BCNN(6, 8) = 24.

b) Vì $72⋮8$ và $72⋮9$ nên BCNN(8, 9, 72) = 72

Toán lớp 6 trang 50 Vận dụng: Có hai chiếc máy A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?

Lời giải:

Vì sau ít nhất một số tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng nên số tháng cần tìm chính là BCNN(6; 9)

Ta có:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48…}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63;…}

Các số 0; 18; 36; 54; … vừa là bội của 6, vừa là bội của 9 nên

BC(6,9) = {0; 18; 36; 54;…}.

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 6 và 9 là 18 nên

BCNN(6, 9) = 18.

Tháng bảo dưỡng lần tiếp theo là tháng 11 năm sau

Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa thì hai máy được bảo dưỡng cùng một tháng.

Giải Toán lớp 6trang 51Tập 1

Toán lớp 6 trang 51 Câu hỏi 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của 9 và 15, biết: $9=3^2$ và $15=3.5$ .

Lời giải:

Ta có: $9=3^2$ ; $15=3.5$

+) Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 5.

+) Số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(9, 15) =$3^2$. 5 = 45.

Giải Toán lớp 6trang 52Tập 1

Toán lớp 6 trang 52 Luyện tập 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của 15 và 54. Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54.

Lời giải:

+) Phân tích 15 và 54 ra thừa số nguyên tố: 15 = 3. 5 ; 54 = 2. $3^3$

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó: BCNN(15; 54) = 2. $3^3$.5 = 270

Toán lớp 6 trang 52 Thử thách nhỏ: Lịch xuất bến của một số xe buýt tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội) được ghi ở bảng bên. Giả sử các xe buýt xuất bến cùng lúc vào 10 giờ 35 phút. Hỏi vào các thời điểm nào trong ngày (từ 10 giờ 35 phút đến 22 giờ) các xe buýt này lại xuất bến cùng một lúc?

Bến xe Mỹ Đình
Số xe	Thời gian
Xe 16	15 phút/chuyến
Xe 34	9 phút/chuyến
Xe 30	10 phút/chuyến

Lời giải:

Ta có: $9=3^2$ ;10 = 2. 5 $15=3.5$.

Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 2 và 5.

Số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(9, 10, 15) = 2. $3^2$. 5 = 90.

Do đó cứ sau 90 phút thì ba xe lại xuất bến cùng một lúc.

Đổi 90 phút = 1 giờ 30 phút

Từ 10 giờ 35 phút thì sau 10 giờ 35 phút + 1 giờ 30 phút = 12 giờ 05 phút các xe xuất bến cùng một lúc

Tương tự như vậy thì 10 giờ 35 phút đến 22 giờ các xe xuất bến cùng một lúc vào các giờ: 12 giờ 05 phút; 13 giờ 35 phút; 15 giờ 05 phút; 16 giờ 35 phút; 18 giờ 05 phút;

19 giờ 35 phút; 21 giờ 05 phút.

Toán lớp 6 trang 52 Câu hỏi 3: Quy đồng mẫu hai phân số: $\frac{7}{9}$ và $\frac{4}{15}$.

Lời giải:

Ta có: 9 = $3^2$ ; 15 = 3. 5 nên BCNN(9, 15) = $3^2.5$ = 45.

Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là 45. Do đó:

$\frac{7}{9}=\frac{7.5}{9.5}=\frac{35}{45}$

$\frac{4}{15}=\frac{4.3}{15.3}=\frac{12}{45}$

Giải Toán lớp 6trang 53Tập 1

Toán lớp 6 trang 53 Luyện tập 3:

(1) Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\frac{5}{12}$ và $\frac{7}{15}$

b) $\frac{2}{7}$; $\frac{4}{9}$ và $\frac{7}{12}$

(2) Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{3}{8}$ + $\frac{5}{24}$

b) $\frac{7}{16}$ - $\frac{5}{12}$

Lời giải:

(1) a) $\frac{5}{12}$ và $\frac{7}{15}$

Ta có: 12 = $2^2.3$; 15 = 3. 5 nên BCNN(12, 15) = $2^2\mathrm{.3.5}$ = 60

Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là 60. Do đó:

$\frac{5}{12}=\frac{5.5}{12.5}=\frac{25}{60}$

$\frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}$

b) $\frac{2}{7}$; $\frac{4}{9}$ và $\frac{7}{12}$

Ta có: 7 = 7; 9 = $3^2$; 12 = $2^2.3$ nên BCNN(7, 9, 12) = $2^2{.3}^2.7$ = 252. Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là 252

$\frac{2}{7}=\frac{2.36}{7.36}=\frac{72}{252}$

$\frac{4}{9}=\frac{4.28}{9.28}=\frac{112}{252}$

$\frac{7}{12}=\frac{7.21}{12.21}=\frac{147}{252}$

(2) a) $\frac{3}{8}$ + $\frac{5}{24}$

Vì $24⋮8$ nên BCNN(8, 24) = 24. Do đó ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là 24 và:

$\frac{3}{8}=\frac{3.3}{8.3}=\frac{9}{24}$

Vậy $\frac{3}{8}$ + $\frac{5}{24}$ = $\frac{9}{24}+\frac{5}{24}$

$=\frac{9+5}{24}$ $=\frac{14}{24}$

$=\frac{14:2}{24:2}=\frac{7}{12}$.

b) $\frac{7}{16}$ - $\frac{5}{12}$

Ta có: $16=2^4$; $12=2^2.3$ nên BCNN(16, 12) = $2^4.3=48$. Do đó ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là 48

$\frac{7}{16}=\frac{7.3}{16.3}=\frac{21}{48}$;

$\frac{5}{12}=\frac{5.4}{12.4}=\frac{20}{48}$

Vậy $\frac{7}{16}$ - $\frac{5}{12}$= $\frac{21}{48}-\frac{20}{48}$

$=\frac{21-20}{48}=\frac{1}{48}$.

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.36: Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của

a) 5 và 7;

b) 3, 4 và 10.

Lời giải:

a) Ta có BCNN(5; 7) = 5. 7 = 35 nên

Vì bội chung nhỏ hơn 200 nên bội chung của 5 và 7 là: 0; 35; 70; 105; 140; 175

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là: 0; 35; 70; 105; 140; 175.

b) Ta có: 3 = 3; 4 = $2^2$ 10 = 2. 5.

Thừa số nguyên tố chung là 2 và riêng là 3 và 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(3, 4, 10) = $2^2\mathrm{.3.5}$= 60.

Vì bội chung nhỏ hơn 200 nên bội chung của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180.

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.37: Tìm BCNN của:

a) ${2.3}^3$ và 3.5

b) 2.5.7² và ${3.5}^2.7$

Lời giải:

a) ${2.3}^3$ và 3.5

+) Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 1 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN cần tìm là ${2.3}^3.5$ = 270.

b) 2.5.7² và ${3.5}^2.7$

+) Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 5 và 7; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 2, số mũ lớn nhất của 7 là 2

Vậy BCNN cần tìm là ${\mathrm{2.3.5}}^2{.7}^2$= 7 350.

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.38: Tìm BCNN của các số sau:

a) 30 và 45;

b) 18, 27 và 45.

Lời giải:

a) 30 và 45

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5; 45 = $3^2.5$

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và 5; thừa số nguyên tố riêng là 2

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(30; 45) = ${2.3}^2.5$ = 90.

b) 18, 27 và 45

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

18 = ${2.3}^2$ ; 27 = $3^3$ ; 45 = $3^2.5$

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(30; 45) = ${2.3}^3.5$ = 270

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.39: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a⋮28 và a⋮32

Lời giải:

Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 và a⋮28 và a⋮32

Do đó a là BCNN(28; 32)

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

28 = $2^2.7$ ; 32 = $2^5$

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 2; thừa số nguyên tố riêng là 7

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 5, số mũ lớn nhất của 7 là 1

nên a = BCNN(28; 32) = $2^5.7$ = 224

Vậy số tự nhiên a cần tìm là 224.

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.40: Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp từ 30 đến 40. Tính số học sinh của lớp 6A

Lời giải:

Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ.

Nên số học sinh của lớp 6A là BC(3; 4; 9)

Ta có: 3 = 3; $4=2^2$ ; $9=3^2$

Ta thấy thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3, không có thừa số nguyên tố chung

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 2

Khi đó: BCNN(3; 4; 9) = $2^2{.3}^2$ = 36

Mà số học sinh lớp 6A từ 30 đến 40 nên số học sinh lớp 6A là 36.

Vậy số học sinh lớp 6A là 36 học sinh

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.41: Hai đội công nhân trồng được một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II đã trồng 11 cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200 cây.

Lời giải:

Vì số cây hai đội trồng được như nhau mà mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II đã trồng 11 cây.

Nên số cây mỗi đội trồng được là BC(8; 11)

BCNN(8; 11) = 8 . 11 = 88

Mà số cây trong khoảng từ 100 đến 200 nên số cây mỗi đội trồng được là 176 cây.

Vậy số cây mỗi đội đã trồng là 176 cây.

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.42: Cứ 2 ngày, Hà đi dạo cùng bạn cún đáng yêu của mình. Cứ 7 ngày, Hà lại tắm cho cún. Hôm nay, cún vừa được đi dạo, vừa được tắm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm?

Lời giải:

Số ngày ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là BCNN(2, 7)

BCNN(2, 7) = 2.7 = 14

Vậy sau ít nhất 14 ngày thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm.

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.43: Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\frac{9}{12}$ và $\frac{7}{15}$

b) $\frac{7}{10}$, $\frac{3}{4}$ và $\frac{9}{14}$

Lời giải:

a) Ta có: $12=2^2.3$; $15=3.5$

nên BCNN(12, 15) = $2^2\mathrm{.3.5}$ = 60.

Do đó ta có thể chọn mẫu chung là 60.

$\frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60}$

$\frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}$

b) Ta có: $10=2.5$ ; $4=2^2$ ; 14 = 2. 7

nên BCNN(10, 4, 14) = $2^2\mathrm{.5.7}$= 140. Do đó ta có thể chọn mẫu chung là 140

$\frac{7}{10}=\frac{7.14}{10.14}=\frac{98}{140}$

$\frac{3}{4}=\frac{3.35}{4.35}=\frac{105}{140}$

$\frac{9}{14}=\frac{9.10}{14.10}=\frac{90}{140}$

Toán lớp 6 trang 53 Bài 2.44: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{7}{11}+\frac{5}{7}$;

b) $\frac{7}{20}-\frac{2}{15}$

Lời giải:

a) Ta có: 11 = 11; 7 = 7

nên BCNN(11, 7) = 11.7 = 77. Ta có thể chọn mẫu chung là 77.

$\frac{7}{11}=\frac{7.7}{11.7}=\frac{49}{77}$

$\frac{5}{7}=\frac{5.11}{7.11}=\frac{55}{77}$

Vậy $\frac{7}{11}+\frac{5}{7}=\frac{49}{77}+\frac{55}{77}$

$=\frac{49+55}{77}=\frac{104}{77}$.

b) Ta có: $20=2^2.5$; $15=3.5$

nên BCNN(20,15) = $2^2\mathrm{.3.5}$ = 60. Ta có thể chọn mẫu chung là 60.

$\frac{7}{20}=\frac{7.3}{20.3}=\frac{21}{60}$

$\frac{2}{15}=\frac{2.4}{15.4}=\frac{8}{60}$

Vậy $\frac{7}{20}-\frac{2}{15}=\frac{21}{60}-\frac{8}{60}$

$=\frac{21-8}{60}=\frac{13}{60}$

Bài giảng Toán lớp 6 Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất - Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 6 Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất – Kết nối tri thức

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Ví dụ 1. Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 30 và 45

Lời giải

Ta có B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; 240; 270; …}

B(45) = {0; 45; 90; 135; 180; 225; 270; …}

BC(30, 45) = {0; 90; 180; 270; …}.

BCNN(30, 45) = 90.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu a $⋮$ b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Ví dụ 2. Tìm bội chung nhỏ nhất của các số sau:

a) 12 và 36;

b) 124 và 1.

Lời giải

a) Vì 36 $⋮$ 12 nên BCNN(12, 36) = 36;

b) Vì 124 là bội của 1 nên BCNN(1; 124) = 124.

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Ví dụ 3. Tìm bội chung nhỏ nhất của 21 và 14.

Lời giải

Ta có 21 = 3.7; 14 = 2.7.

Khi đó BCNN(21, 14) = 2.3.7 = 42.

Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm BCNN của các số đã cho.

Bước 2. Tìm các bội của BCNN đó.

Ví dụ 4. Tìm BC(12, 24, 30)

Lời giải

Ta có: 12 = 2².3; 24 = 2³.3; 30 = 2.3.5.

BCNN(12, 24, 30) = 2³.3.5 = 120.

BC(12, 24, 30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; …}.

3. Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Ví dụ 5. Quy đồng mẫu số các phân số sau:

a) $\frac{9}{12}$ và $\frac{4}{15}$; b) $\frac{2}{7};\frac{5}{21}$ và $\frac{8}{14}$.

Lời giải

a) Ta có 12 = 2².3; 15 = 3.5.

BCNN(12, 15) = 2².3.5 = 60.

Ta có: 60:12 = 5; 60:15 = 4. Khi đó:

$\frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60}$ và $\frac{4}{15}=\frac{4.4}{15.4}=\frac{16}{60}.$

b) Ta có: 7 = 7, 21 = 3. 7, 14 = 2.7.

BCNN(7, 21, 14) = 2.3.7 = 42.

Ta có: 42:7 = 6, 42:21 = 2, 42:14 = 3. Khi đó:

$\frac{2}{7}=\frac{2.6}{7.6}=\frac{12}{42};\frac{5}{21}=\frac{5.2}{21.2}=\frac{10}{42}$ và $\frac{8}{14}=\frac{8.3}{14.3}=\frac{24}{42}.$