Chứng minh các tính chất

Giải Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Video Giải Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán lớp 11 Đại số

Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Tính chất:

a) $P\left(\varnothing \right)=0,P\left(\Omega \right)=1$

b) $0\le P\left(A\right)\le 1$ , với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc, thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (công thức cộng xác suất).

Lời giải:

a)  $P\left(\varnothing \right)=0,P\left(\Omega \right)=1$

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

$P\left(\varnothing \right)=\frac{n\left(\varnothing \right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{0}{n\left(\Omega \right)}=0$

$P\left(\Omega \right)=\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}=1$ (điều phải chứng minh)

b) $0\le P\left(A\right)\le 1$, với mọi biến cố A.

Ta có:  $n(\varnothing )\le n\left(A\right)\le n\left(\Omega \right)$

$\iff \frac{n(\varnothing )}{n\left(\Omega \right)}\le \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\le \frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}\iff P(\varnothing )\le P\left(A\right)\le P\left(\Omega \right)$

$\iff 0\le P\left(A\right)\le 1$ (từ chứng minh câu a)

Suy ra điều phải chứng minh.

c) Nếu A và B xung khắc, thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (công thức cộng xác suất)

Nếu A và B xung khắc, ta có:

$n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)\iff \frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$

$\iff P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (điều phải chứng minh).