Chứng minh các dãy số

Giải Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Video Giải Bài tập 1 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 1 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các dãy số $\left(\frac{3}{5}{.2}^n\right)$, $\left(\frac{5}{2^n}\right)$, $\left({\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right)$ là các cấp số nhân.

Lời giải:

+ Ta có:  $u_n=\frac{3}{5}{.2}^n$

$u_1=\frac{3}{5}\cdot 2^1=\frac{6}{5}$

Với mọi $\forall n\in \mathbb{N}*$, ta có: $u_{n+1}=\frac{3}{5}\cdot 2^{n+1}$

$\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{3}{5}\cdot 2^{n+1}}{\frac{3}{5}\cdot 2^n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=\frac{2^n\cdot 2}{2^n}=2$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1=\frac{6}{5}$ và q = 2.

+ Ta có:  $u_n=\frac{5}{2^n}$

$u_1=\frac{5}{2^1}=\frac{5}{2}$

Với mọi $\forall n\in \mathbb{N}*$, ta có:

  $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}}=\frac{5}{2^{n+1}}:\frac{5}{2^n}=\frac{5}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{5}=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{2^n}{2^n\cdot 2}=\frac{1}{2}\left(khôngđổi\right)$ 

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1=\frac{5}{2}$ và $q=\frac{1}{2}$

+ Ta có: $u_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ suy ra $u_1={\left(-\frac{1}{2}\right)}^1=-\frac{1}{2}$

Với mọi $\forall n\in \mathbb{N}*$, ta có:

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1=\frac{-1}{2}$ và $q=\frac{-1}{2}$