Bài toán Ơ–le Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán

Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không trùng nhau, nhưng hai người bán được một số tiền bằng nhau. Một người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được $6\frac{2}{3}$đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?

Gọi x (quả) là số trứng của người thứ nhất.

Điều kiện: x ∈ N*, x < 100

Khi đó số trứng của người thứ hai là 100 – x (quả)

Nếu số trứng của người thứ nhất bằng số trứng của người thứ hai thì người thứ nhất bán được 15 đồng nên giá tiền một quả trứng của người thứ nhất là $\frac{15}{100-x}$(đồng)

Nếu số trứng của người thứ hai bằng số trứng của người thứ nhât thì người thứ hai bán được $6\frac{2}{3}$=$\frac{20}{3}$đồng nên giá tiền một quả trứng của người thứ hai là $\frac{20}{3x}$(đồng).

Số tiền người thứ nhất bán được là:

$\frac{15}{100-x}.x=\frac{15x}{100-x}$(đồng)

Số tiền người thứ hai bán được là:

$\frac{20}{3x}\left(100-x\right)=\frac{20\left(100-x\right)}{3x}$(đồng)

Theo đề bài ta có phương trình:

$\frac{15x}{100-x}=\frac{20\left(100-x\right)}{3x}$

⇔ 45x² = 20(100 – x)²

⇔ 45x² = 20(10000 – 200x + x²)

⇔ 45x² = 200000 – 4000x + 20x²

⇔ 25x² + 4000x – 200000 = 0 ⇔ x² + 160x – 8000 = 0

∆' = 80² – 1.(–8000) = 6400 + 8000 = 14400 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-80+\sqrt{14400}}{1}=40$(thỏa mãn)

$x_2=\frac{-80-\sqrt{14400}}{1}=-200$(loại)

Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả

Số trứng của người thứ hai là 100 – 40 = 60 quả.